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Kraft als Vektor in der Biomechanik: Flaschenkasten heben
1. a) Kraftberechnung beim Heben eines Flaschenkastens
Zuerst lösen wir Teil 1 a). Dabei handelt es sich um ein Problem des Drehmoments. Das Drehmoment (\(T\)) ist das Produkt aus der Kraft (\(F\)), die auf einen Hebelarm (\(r\)) einwirkt, und der Entfernung dieses Hebelarms vom Drehpunkt. Die Formel lautet:
\(
T = F \cdot r
\)
In unserem Fall ist \(T\) das Drehmoment, das durch das Gewicht des Oberkörpers (\(50 \text{ kg}\)) verursacht wird. Die wirkende Kraft (\(F_g\)) ist durch die Gewichtskraft gegeben: \(F_g = m \cdot g\), mit \(m = 50 \text{ kg}\) und \(g = 9,81 \text{ m/s}^2\). Die Entfernung (\(r_1\)) vom Drehpunkt beträgt \(20 \text{ cm} = 0,2 \text{ m}\).
Berechnung der Gewichtskraft des Oberkörpers:
\(
F_g = 50 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 = 490,5 \text{ N}
\)
Das Drehmoment (\(T\)) am Rücken, verursacht durch das Heben, ist:
\(
T = 490,5 \text{ N} \cdot 0,2 \text{ m} = 98,1 \text{ Nm}
\)
Um das Drehmoment zu kompensieren, müssen die Bänder und Muskeln an der Wirbelsäule eine gleichgroße, aber entgegengesetzte Kraft ausüben. Die Entfernung dieser Muskeln vom Drehpunkt (\(r_2\)) ist \(0,04 \text{ m}\). Setzen wir das T mit der erforderlichen Kraft (\(F_m\)) und \(r_2\) in Beziehung, ergibt sich:
\(
98,1 \text{ Nm} = F_m \cdot 0,04 \text{ m}
\)
Lösen nach \(F_m\):
\(
F_m = \frac{98,1 \text{ Nm}}{0,04 \text{ m}} = 2452,5 \text{ N}
\)
Daher müssen die Muskeln und Bänder eine Kraft von etwa \(2452,5 \text{ N}\) aufbringen, um die Haltung zu halten.
2. a) Arbeit und Leistung bei einem Squatjump
Nun zu Teil 2 a). Die Arbeit (\(W\)) kann ermittelt werden als das Produkt aus der Gewichtskraft (\(F_g\)) und der Hubhöhe (\(h\)). Für einen Springer mit einem Gewicht von \(70 \text{ kg}\), der seinen Schwerpunkt um \(60 \text{ cm} = 0,6 \text{ m}\) anhebt, berechnet sich die Arbeit wie folgt:
\(
F_g = 70 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 = 686,7 \text{ N}
\)
\(
W = 686,7 \text{ N} \cdot 0,6 \text{ m} = 412,02 \text{ J}
\)
Die mittlere Leistung (\(P\)) ist die Arbeit pro Zeit (\(t\)), hier \(0,4 \text{ s}\):
\(
P = \frac{W}{t} = \frac{412,02 \text{ J}}{0,4 \text{ s}} = 1030,05 \text{ W}
\)
Die kurzfristige Maximalleistung wird typischerweise als höher als die Durchschnittsleistung angenommen, da der Körper zu Beginn der Bewegung mehr Energie aufwendet. Da hierfür keine exakte Berechnung gegeben ist, kann man sagen, dass diese über \(1030,05 \text{ W}\) liegen würde, ohne genaue Werte anzugeben.
2. b) Sprunghöhe, Abfluggeschwindigkeit und Kraftstoß eines Strecksprungs
Für die Sprunghöhe (\(h\)) bei bekannter Flugzeit (\(t = 0,5 \text{ s}\)) verwendet man die Formel unter Berücksichtigung von \(1/2\) der gesamten Flugzeit (wegen \(t/2\) für den Aufstieg):
\(
h = \frac{1}{2} g \left(\frac{t}{2}\right)^2
\)
Einsetzen der Werte:
\(
h = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot (0,25 \text{ s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot 0,0625 \approx 0,306 \text{ m}
\)
Für die Abfluggeschwindigkeit (\(v\)) nutzt man:
\(
v = g \cdot \frac{t}{2} = 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 0,25 \text{ s} = 2,4525 \text{ m/s}
\)
Der Kraftstoß (\(\Delta p\)) entspricht der Änderung des Bewegungsimpulses, welche das Produkt aus Masse (\(m\)) und Geschwindigkeit (\(v\)) ist:
\(
\Delta p = m \cdot v = 75 \text{ kg} \cdot 2,4525 \text{ m/s} \approx 184 \text{ Ns}
\)
Zusammengefasst:
- Die Muskeln müssen eine Kraft von etwa \(2452,5 \text{ N}\) aufbringen, um den Flaschenkasten bei angegebener Haltung zu halten.
- Bei einem Squatjump hat der Springer eine Arbeit von \(412,02 \text{ J}\) geleistet und eine mittlere Leistung von \(1030,05 \text{ W}\) erbracht.
- Ein Springer bei einem maximalen senkrechten Strecksprung ist etwa \(0,306 \text{ m}\) hoch gesprungen, hatte eine Abfluggeschwindigkeit von \(2,4525 \text{ m/s}\), und musste einen Kraftstoß von etwa \(184 \text{ Ns}\) erzeugen.
