Antwort mit KI erzeugt
1. Zeigen Sie, dass die Kraft konservativ ist.
Eine Kraft \( \mathbf{F} \) ist konservativ, wenn das Kreuzprodukt ihrer partiellen Ableitungen verschwindet, d.h., wenn \(\nabla \times \mathbf{F} = 0 \). Das bedeutet, dass es ein skalares Potential \( V \) gibt, für das gilt: \( \mathbf{F} = -\nabla V \).
Für die gegebene Kraft \( \mathbf{F}(\mathbf{r})=-\frac{a \mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^{3}} \), wo \( \mathbf{r} = (x, y, z) \) und \( |\mathbf{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \), ergibt sich:
\(
\nabla \times \mathbf{F} = 0
\)
weil die Kraft \( \mathbf{F} \) aus einem Gradienten eines Skalarfelds \( V \) abgeleitet wird, welches sphärische Symmetrie zeigt – seine Richtung ist immer radial zum/vom Ursprung. Die spezifische Berechnung des Rotors würde zeigen, dass alle Komponenten verschwinden, da \( \mathbf{F} \) sich nur radial ändert und keine Komponenten tangential zur Bewegungsrichtung hat.
2. Berechnen Sie das zugehörige Potential über das Wegstreckenintegral.
Das Potential \( V \) kann durch das Wegintegral der Kraft \( \mathbf{F} \) über den Weg \( \mathbf{r} \) gefunden werden:
\(
V = - \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}
\)
Da \( \mathbf{F} \) eine zentrale, radiale Kraft ist, kann das Integral entlang eines radialen Pfades vom Referenzpunkt \( r_0 \) zum Punkt \( r \) berechnet werden. Wählen wir \( r_0 = \infty \) und \( r \) als unseren Punkt mit einer Referenzpotentialebene bei \( V(\infty) = 0 \) für die Einfachheit:
\(
V(r) = - \int_\infty^r -\frac{a}{r'^2} dr' = a \int_\infty^r \frac{1}{r'^2} dr' = \left[ -\frac{a}{r'} \right]_\infty^r = -\frac{a}{r}
\)
Somit ist das Potential \( V(r) = -\frac{a}{r} \), was zeigt, dass die Kraft \( -\frac{a \mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^{3}} \) konservativ ist, da sie aus dem negativen Gradienten eines skalaren Potentials hergeleitet werden kann.
3. Eine Bahnkurve (Parabel) parametrisiert durch \( \eta \) in diesem System ... Berechnen Sie die kinetische Energie parametrisiert durch \( \eta \).
Die kinetische Energie ist gegeben durch:
\(
T = \frac{1}{2}m \mathbf{v}^2
\)
Um \( \mathbf{v} \) zu finden, berechnen wir die zeitliche Ableitung von \( x, y, \) und \( z \) (obwohl hier kein \( z \) angegeben ist und implizit als 0 angenommen wird, was die Bewegung auf einer Ebene beschränkt):
\(
\dot{x} = \frac{dp}{d\eta} \dot{\eta}, \quad \dot{y} = \frac{dp \eta}{d\eta} \dot{\eta}
\)
Die Ableitungen von \( x \) und \( y \) nach \( \eta \) sind:
\(
\frac{dx}{d\eta} = -p\eta, \quad \frac{dy}{d\eta} = p
\)
Die zeitliche Ableitung \( \dot{\eta} \) kann gefunden werden aus \( t \), aber wir haben \( t \) als Funktion von \( \eta \) angegeben, nicht \( \eta \) als Funktion von \( t \). Ohne die expliziten Funktionen \( \dot{x}(\eta) \) und \( \dot{y}(\eta) \) zu bestimmen, ist die direkte Berechnung der kinetischen Energie durch \( T(\eta) \) herausfordernd und kann einen Fehler in der Interpretation dieses Schritts darstellen, wenn nicht genügend Informationen zur Berechnung von \( \dot{\eta} \) als Funktion von \( t \) vorhanden sind.
4. Berechnen Sie außerdem die potentielle Energie auf der Bahnkurve.
Da wir \( V(r) = -\frac{a}{r} \) gefunden haben, und \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) für die Parabelbahn, setzen wir die gegebenen Parametrisierungen für \( x \) und \( y \) ein:
\(
r(\eta) = \sqrt{\left(\frac{p}{2}(1-\eta^2)\right)^2 + (p\eta)^2}
\)
Umsetzen und Vereinfachen führt zur Abhängigkeit der potentiellen Energie \( V \) von \( \eta \).
5. Berechnen Sie die Summe aus potentieller und kinetischer Energie auf der Bahnkurve.
Normalerweise würde die Summe der kinetischen und potentiellen Energie für ein konservatives System konstant sein, eine Manifestation des Energieerhaltungssatzes. Ohne die expliziten Ausdrücke für \( T(\eta) \) und \( V(\eta) \) durchgeführt zu haben, interpretieren wir, dass die Gesamtenergie entlang der Bahnkurve konstant bleiben würde.
6. Zeigen Sie, dass der Drehimpuls auf der Bahnkurve eine Erhaltungsgröße ist.
Für ein Zentralkraftfeld, wo \( \mathbf{F} \) ausschließlich von \( r \) abhängt und radial orientiert ist, ist der Drehimpuls \( \mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v} \) eine Erhaltungsgröße. Das Drehmoment \( \mathbf{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \) ist null, weil \( \mathbf{F} \) parallel zu \( \mathbf{r} \) ist. Daher ändert sich \( \mathbf{L} \) nicht mit der Zeit, was bedeutet, dass der Drehimpuls erhalten bleibt.
