Mit welcher Formel lassen sich Flughöhe und Ballgeschwindigkeit berechnen?

Question

Hallo,
Ich möchte bei einem Tischfussballtisch die Ballgeschwindigkeit und Flughöhe auf der Torlinie bzw Torfläche berechnen.
Als Berechnungsgrundlage habe ich bis zu 3 Lichtschranken-Unterbrechungs-Zeiträume in Mikrosekunden zur Verfügung
Im Versuchsaufbau sind insgesamt sind 3 Lichtschranken mit unterschiedlichen Abständen zum Boden übereinander positioniert:
h1 = 15mm (Bodenabstand Lichtschranke 1)
h2 = 30mm (Bodenabstand Lichtschranke 2)
h3 = 45mm (Bodenabstand Lichtschranke 3)
d = 33,5mm (Balldurchmesser)

t1 (Unterbrechungsdauer Lichtschranke 1 in mikrosekunden)
t2 (Unterbrechungsdauer Lichtschranke 2 in mikrosekunden)
t3 (Unterbrechungsdauer Lichtschranke 3 in mikrosekunden)

Dieser Versuchsaufbau gewährleistet, dass jedesmal wenn der Ball die Torfläche passiert mindestens 2 Lichtschranken Daten der Unterbrechungsdauer liefern.
Je nach Flughöhe des Balls ergeben sich 3 unterschiedliche Szenarien in denen die Berechnung stattfinden soll:
Lichtschranke 1 und 2 wurden unterbrochen
Lichtschranke 1, 2 und 3 wurden unterbrochen
Lichtschranke 2 und 3 wurden unterbrochen

Man hat daher entweder Messdaten von Lichtschranke 1 und 2 oder von 2 und 3 oder von allen 3 Lichtschranken.

Der Ball kann zwar aus unterschiedlichen Winkeln auf die Torfläche auftreffen (links, rechts, aufsteigend, abfallend). In diesem Versuchsaufbau kann dies aber vernachlässigt werden und wir gehen davon aus, dass sich der Ball immer aus genau 90 Grad auf die Torfläche zubewegt. Beschleunigung oder Verzögerung des Balls während des Messvorgangs können auch ignoriert werden.

Allerdings ist es sehr wahrscheinlich, dass die Flughöhe des Balls variiert, welche aufgrund der Torhöhe bis zu 28mm über dem Boden bzw. Spielfeld betragen kann.

Mit welcher Formel lassen sich Flughöhe und Ballgeschwindigkeit berechnen?
Dabei muss auch berücksichtigt werden dass es 3 unterschiedliche Szenarien gibt (siehe oben)

Mit folgender Formel (von ChatGPT) bekomme ich für Szenario 1 halbwegs plausibel erscheinende Werte:
  flughöhe = (h2 * t1 - h1 * t2) / (t1 + t2) - (d / 2); [mm]
  ballgeschwindigkeit = (2 * d) / ((t1 + t2) * 0.000001)  * 0.0036  [km/h]
Allerdings verändert sich die Flughöhe in die falsche Richtung (wird negativ wenn ich den ball in einigen millimetern höhe durch die lichtschranken rollen lasse) und obendrein sagt mir mein Bauchgefühl dass eine Berechnung ohne PI zu verwenden nur falsch sein kann...
Vielen Dank für jede Hilfe!

Comments

ich nehme an die Lichtschranken sind quer zum Tor.wie kann der Ball wenn er in 45mm Höhe passiert noch weitere LS treffen?

1. muss man das passieren genauer untersuchen, indem man den Ball langsam in die LS führt und feststellt, wann sie anspricht und wann wieder dicht macht. Damit sollte man den wirksamen Durchmesser d' kennen und dann v1=d'/t1

die Flughöhe ist dann ja durch h1 gegeben?

Ich verstehe nicht, wie der Ball der 90° zur Torebene ankommt 2 LS treffen kann. Kannst du die Anordnung der LS skizzieren?

---

Vielen Dank für die Antwort!
Anbei ein Bild des Versuchaufbaus

---

Ich sehe der Ball ist so groß, dass er  im Allgemeinen 2 LS auf einmal passiert? dann ist sehr unsicher mit welchem Teil seines Durchmessers er passiert . hat du den "empfindlichen Bereich bestimmt? Ein schwarzer statt weisser Ball ist wohl günstiger?

deine 3 Zeiten kann ich nicht ganz verstehen, die kleinste Zeit: der Ball  fliegt nur mit einem kleinen Teil durch LS1

mit einem größerem durch LS 2 und mit seiner Mitte durch LS3

Das ist aber mit 33mm  und der Höhendifferenz von 30 cm praktisch nicht möglich, also schick mal echte Daten. mir scheint, die sind ausgedacht?

---

die daten sind nicht ausgedacht
wie eingangs beschrieben hat man IMMER von mindestens 2 lichtschranken daten über die unterbrechungsdauer. balldurchmesser und lichtschranken-höhen sind bekannte konstanten.
in einem winzigen bereich der flughöhe erhält man sogar Messdaten von allen 3 Lichtschranken (flughöhe 11.5 bis 15mm)

über das verhältnis der unterschiedlichen unterbrechungsdauern sollte ja die flughöhe berechnet werden können, oder?
Und wenn man die flughöhe, balldurchmesser, unterbrechungsdauer und lichtschrankenhöhen kennt, sollte sich auch die geschwindigkeit berechnen lassen können!?

---

> Ein schwarzer statt weisser Ball ist wohl günstiger?
ich glaube nicht dass dies für den Lichtschranken bzw die gemessenen Daten einen Unterschied macht. Aber vlt liege ich damit falsch.

> deine 3 Zeiten kann ich nicht ganz verstehen, die kleinste Zeit: der Ball fliegt
> nur mit einem kleinen Teil durch LS1
> mit einem größerem durch LS 2 und mit seiner Mitte durch LS3
Nicht ganz
LS1 (unten) sehr kurze unterbrechung weil fast an der Unter"kante" des Balls
LS2 (mitte) größter balldurchmesser passiert den LS
LS3 (oben) sehr kurze unterbrechung weil fast an der Ober"kante" des Balls

> Das ist aber mit 33mm und der Höhendifferenz von 30 cm praktisch nicht
> möglich, also schick mal echte Daten. mir scheint, die sind ausgedacht?
30 cm kann ich jetzt in keiner Angabe entdecken!?
Lichtschranke 2 hat eine konstante Montage-Höhe von 30 mm

letztendlich müsste glaublich die flughöhe über das Verhältnis der Zeiträume berechnet werden. aber halt kein lineares Verhältnis sondern über den Kreisbogen (bzw unterschiedlicher Durchmesser der Messhöhe)!?
ich bin einfach zu dumm auf die Lösung zu kommen

Hab jetzt meine "Angabe" 3 mal durchgelesen - ich wüsste nicht wie ich dieses mathematische Problem besser beschreiben könnte :/
Soll ich versuchen das Problem nochmal allgemeiner zu beschreiben?

Answer 1

Hallo

30 cm ist zwischen h1 und h3

die Zeiten 1,2,3 sollten etwa zu dem entsprechenden Durchmessern gehören, 3 und 1 sind  ca 17mm voneinander aber 2 passt dann nichtdeshalb kann ich mir das schlecht vorstellen. der Lichtfleck ist natürlich auch einige mm breit?

lul

Comments

> 30 cm ist zwischen h1 und h3
Nein - Der Abstand zwischen h1 und h3 beträgt 30 mm und nicht 30 cm
Das ist geringer als der Balldurchmesser - somit hat man in einem kleinen Flughöhen-Bereich sogar Unterbrechungszeitspannen von 3 Lichtschranken

> ich nehme an die Lichtschranken sind quer zum Tor.wie kann der Ball wenn
> er in 45mm Höhe passiert noch weitere LS treffen?
Die Tor-Öffnung ist etwa 60mm hoch
Durch den Balldurchmesser von 33,5mm kann die Flughöhe von 26,5 mm nicht überschritten werden.
Dieser "Höchstflug" wird ebenfalls von 2 Lichtschranken (L2 + L3) gemessen und sollte als solcher über eine Formel festgestellt werden können.

> der Lichtfleck ist natürlich auch einige mm breit?
hat in den gelieferten messdaten möglicherweise tatsächlich relevanz ob ein gegendstand von oben kommend den lichtschranken unterbricht oder von unten kommend.
aber vorerst möcht ich den "Ball flach halten" und das nicht verüberkomplizieren :D

Mit der Grafik aus deiner letzten Anwort kann ich jetzt leider nicht viel anfangen
Was verdeutlicht diese?
Jedenfalls - Danke für deine Antworten!!

---

Anders formuliert:
Das Verhältnis der Unterbrechungszeitspannen ist ja in jeder Flughöhe einzigartig - weil ja je nach Flughöhe an unterschiedlichen Durchmessern des Balls die Unterbrechungszeitspanne gemessen wird. Aus meiner Sicht müssten mit der richtigen Formel Flughöhe und Geschwindigkeit berechnet werden können - ungeachtet aller Kalibrierung- und Mess-Ungenaugkeiten

---

nochmal zu meiner Zeichnung; angenommen die Zeit 3μs entspricht  dem vollen Durchmesser, dann ist  für  die Zeit 2sμ  die Länge 2/3, die ist in 12,4mm  Entfernung

das ist noch gerade möglich, da das Licht eine gewisse Breite hat, aber für 1μs sollte es dann noch 1/3 des Durchmessers sein, das ist aber nur 3,4mm von den 2/3 entfernt also viel weniger als die 15mm Distanz.

Was dazu kommt. Da du die Messwerte in ganzen μs angibst, sind sie wohl auch nur so genau also auf ±0,4μs?

Hast du mit einem Streifen nachgemessen, wieviel von dem Lichtfleck verdeckt sein muss um zu schalten?

von der Größenordnung: 33,5*10^-3m/3*10^-6s=33500m/s 10 fache Schallgeschwindigkeit? Irgendwas ist falsch??

---

> ...10 fache Schallgeschwindigkeit? Irgendwas ist falsch??

Die niedrigen einstelligen Werte für die Unterbrechungsdauer in deiner Annahme sind sehr unrealistisch.
Tatsächliche Messwerte sind zB:
Unterbrechungsdauer LS1 (unten): 35724 μs
Unterbrechungsdauer LS2 (mitte): 19300 μs

Das ergibt in meiner sicherlich falschen Formel ein gar nicht so unplausibles Ergebnis:
Flughöhe: 2.53 mm (sollte tatsächlich 0 sein weil ich den Ball durchgerollt habe)
Geschwindigkeit: 4.38 km/h (ist glaub ich ein bisschen zu hoch)

> Hast du mit einem Streifen nachgemessen, wieviel von dem Lichtfleck
> verdeckt sein muss um zu schalten?
Nein, noch nicht. ich hatte die idee einen streifen mit stellschrauben zu basteln um bei jedem Lichtschranken aufs zehntel genau die "schalthöhe" zu ermitteln.
und zwar jeweils von oben und von unten verdeckend um sogar 2 werte pro LS zu erhalten. dies macht die berechnung nicht unbedingt einfacher, würde aber ein wesentlich genaueres ergebnis liefern.

Bevor für mich nicht absehbar ist ob das ganze Projekt zum Scheitern verurteilt ist, (weil ich einfach zu blöd bin das zu berechnen) lass ich das mit dieser zusatzbastelei mal bleiben.

> ...angenommen die Zeit 3μs entspricht dem vollen Durchmesser, dann
> ist für die Zeit 2sμ  die Länge 2/3, die ist in 12,4mm Entfernung

Das ist grundsätzlich ein hilfreicher Hinweis für mich - danke!
Dazu müsste ich aber die Variable kennen, die der "Unterbrechungsszeit am größten Balldurchmesser" entspricht. und diese ist natürlich bei jeder geschwindigkeit anders.
Wenn ich die Geschwindigkeit bereits kenne, könnte ich diese Variable berechnen.
Aber ich möchte ja die Geschwindigkeit berechnen und da beißt sich die Katze in den Schwanz.

Und hier fehlt mir das Wissen, wie man mathematisch an die Sache herangeht

---

Ich bin ein Stück näher an der Lösung.
Über diese Formel habe ich nun den Abstand der Schnittpunkte zu Kreis und horizontaler Linie berechnet was ja Ball und Lichtschrankenschnittebene entspricht:

x_1 = x_c + sqrt(r^2 - (y_line - y_c)^2)
x_2 = x_c - sqrt(r^2 - (y_line - y_c)^2)
distance = abs(x_1 - x_2)

Diese Abstände sind ja direkt proprtional zur Zeit bzw Unterbrechungsdauer.
Über eine Schleife habe ich ein paar Werte in 2 mm Abstufungen eingesetzt und komme dadurch auf ein einzigartiges Verhältnis zu jeder Flughöhe:

Flughöhe	Abstand x LS1	Abstand x LS2	Verhältnis LS1/LS2
0	33,31666	20,4939	1,625686668
2	32,64966	24,81935	1,315492146
4	31,46426	27,92848	1,126601233
6	29,69849	30,19934	0,9834152005
8	27,23968	31,81195	0,8562719355
10	23,87467	32,86336	0,7264829281
12	19,13113	33,40658	0,5726755029
14	11,40176	33,4664	0,3406927545
15	0	33,31666	0

Wenn man Flüghöhe und Verhältnis in einem Liniendiagramm darstellt sieht das ganze etwa so aus:

jetzt muss ich nur noch ein paar zusatzvariablen und konstanten in die gleichung einbringen, diese umformen (mal sehen ob ich das noch kann) und müsste eigentlich über das verhältnis die Flughöhe bestimmen können...

Und wenn man die Flughöhe kennt, weiß man auch in welchem Abstand des Ballmittelpunktes die Zeitmessung stattgefunden hat und kann dadurch auch die Geschwindigkeit berechnen.

---

ich schaffe es nicht diese gleichung so umzuformen, dass die varible "h" isoliert ist.
wenn ich keinen blödsinn gemacht hab, müsste dies die Lösung sein um über das verhältnis der beiden Lichtschranken-Unterbrechungszeiten die Höhe zu berechnen.

sämtliche online rechner scheitern ebenfalls am isolieren von "h".

Text erkannt:

\( x=\left(\frac{\left(r+\left(\operatorname{sqrt}\left(r^{2}-(h 1-(h+r))^{2}\right)\right)\right)-\left(r-\left(\operatorname{sqrt}\left(r^{2}-(h 1-(h+r))^{2}\right)\right)\right)}{\left(r+\left(\operatorname{sqrt}\left(r^{2}-(h 2-(h+r))^{2}\right)\right)\right)-\left(r-\left(\operatorname{sqrt}\left(r^{2}-(h 2-(h+r))^{2}\right)\right)\right)}\right)^{-1} \)

---

ich schaffe es nicht diese gleichung so umzuformen, dass die varible "h" isoliert ist.

Warum lässt du nicht einfach den Exponenten "-1" weg und drehst den Bruch um?

Weil die Radikanten jeweils im Zähler und im Nenner gleich sind, lässt sich deine Formel noch vereinfachen zu:

x = sqrt(r²-(h₂-h-r)²) / sqrt(r²-(h₁-h-r)²)

sämtliche online rechner scheitern ebenfalls am isolieren von "h".

"WolframAlpha" z.B. wird daran nicht scheitern.

Setze doch mal h=0  und vergleiche das Ergebnis mit deinen Meßwerten.

---

@Enano ich habe mit deiner Vereinfachung ein bisschen rumgetestet und nach einem vertauschen von h1 und h2 bin ich auf die richtigen (bzw höchst plausiblen) Werte gekommen.
WolframAlpha hat mir das auf "h" umgeformt und es scheint genauso zu klappen wie ich mir das vorgestellt habe.

Text erkannt:

\( h=\frac{-\sqrt{a^{2} x^{2}-2 a b x^{2}+b^{2} x^{2}+r^{2} x^{4}-2 r^{2} x^{2}+r^{2}}-a+b x^{2}-r x^{2}+r}{x^{2}-1} \)

x = ratio
a = höhe unterer lichtschranken (h1 oder h2)
b = höhe oberer lichtschranken (h2 oder h3)

Danke @Enano und @lul für eure Hilfe!

Answer 2

Hallo,

unter idealen Bedingungen könnte z.B. für dein Szenario 1 die Flughöhe h_F in mm und die Ballgeschwindigkeit v_B in mm/s (t₁ in s) näherungsweise mit folgenden Formeln berechnet werden:

h_F = (53*t₁² - (4489*t₁⁴- 5378*t₁²*t₂²+ 4489*t₂⁴)^0,5 + 7*t₂²) / (4*(t₁² - t₂²))

v_B = (2 * (277,5 - 3,5*h_F - h_F²)^0,5) / t₁

Werde deine tatsächlichen Meßwerte eingesetzt, kommt h_F ≈ -0,85mm heraus.

Wird in die 2. Formel 0 für h_F eingesetzt und 0,035724s für t₁, ergibt das v_B ≈ 932 mm/s ≈ 3,35 km/h.

Flughöhe: 2.53 mm (sollte tatsächlich 0 sein weil ich den Ball durchgerollt habe)

Nach "deiner" Formel komme ich auf ca. -2,53mm, was doch erheblich von 0mm abweicht. Bei mathematischen und physikalischen Aufgaben sollte man sich nicht auf ChatGPT verlassen. Selbst bei ein und der gleichen Formel kommt es bei mehrmaligem Rechnen mit den selben Werten zu unterschiedlichen Ergebnissen.

Geschwindigkeit: 4.38 km/h (ist glaub ich ein bisschen zu hoch)

Sehr gute Kicker-Spieler sollen auf über 50km/h kommen. ;-)

Comments

Danke für deine Antwort und abenteuerliche Formel!
Die 4.38 km/h waren nur ein Durchrollen mit der Hand.
und ja - ich denke auch dass feste Schüsse in der gegend von 40-50 km/h sein werden.

ich habe meine werte-tabelle durch "fitmycurve" gejagt und habe folgende Formel erhalten, die verblüffend plausibel erscheinende Werte für die Höhe berechnet:
höhe = 14.14107 + 8.223926*ratio - 28.66096*ratio² + 13.6245*ratio³ - 1.458985*ratio⁴