Magnetfeld eines langen Drahtes
Betrachten Sie einen unendlichen langen (und dünnen) Leiter, der in \( \vec{e}_{z} \)-Richtung orientiert ist. Fließt durch diesen Leiter ein Strom \( I \), wird ein Magnetfeld der Form
\( \vec{B}(\vec{r})=\frac{2 I}{c} \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\left(\begin{array}{c} -y \\ x \\ 0 \end{array}\right), \quad \vec{r}=(x, y, z)^{T}, \quad \sqrt{x^{2}+y^{2}}>0 \)
generiert.
(a) Drücken Sie das Magnetfeld \( \vec{B}(\vec{r}) \) in Zylinderkoordinaten \( \vec{r}=(\rho \cos \phi, \rho \sin \phi, z)^{T} \) aus, d.h. bringen Sie \( \vec{B}(\vec{r}) \) in die Form
\( \vec{B}(\vec{r})=B_{\rho}(r, \phi, z) \vec{e}_{\rho}+B_{\phi}(r, \phi, z) \vec{e}_{\phi}+B_{z}(r, \phi, z) \vec{e}_{z}, \quad \vec{e}_{k}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial k}\left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial k}\right|^{-1}, k \in\{r, \phi, z\} . \)
Bestimmen Sie hierzu zunächst die (lokalen) Einheitsvektoren \( \vec{e}_{k} \) der Zylinderkoordinaten.
(b) Berechnen Sie \( \vec{\nabla} \cdot \vec{B}(\vec{r}) \) und \( \vec{\nabla} \times \vec{B}(\vec{r}) \) in Zylinderkoordinaten. Die Divergenz und Rotation in Zylinderkoordinaten sind definiert durch
\( \begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot \vec{B}(\vec{r}) & =\frac{1}{\rho} \partial_{\rho}\left(\rho B_{\rho}\right)+\frac{1}{\rho} \partial_{\phi} B_{\phi}+\partial_{z} B_{z} \\ \vec{\nabla} \times \vec{B}(\vec{r}) & =\left[\frac{1}{\rho} \frac{\partial B_{z}}{\partial \phi}-\frac{\partial B_{\phi}}{\partial z}\right] \vec{e}_{\rho}+\left[\frac{\partial B_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial B_{z}}{\partial \rho}\right] \vec{e}_{\phi}+\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial\left(\rho B_{\phi}\right)}{\partial \rho}-\frac{\partial B_{\rho}}{\partial \phi}\right] \vec{e}_{z} \end{aligned} \)
(c) Berechnen Sie das Kurvenintegral \( \int \mathrm{d} \vec{r} \cdot \vec{B}(\vec{r}) \) des magnetischen Feldes entlang eines entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreises in der \( z=0 \) Ebene mit Radius \( R \) und Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Kann das magnetische Feld als Gradientenfeld dargestellt werden, d.h. existiert ein skalares Feld \( \phi(\vec{r}) \), so dass \( \vec{B}(\vec{r})=\vec{\nabla} \phi(r) \) ? Diskutieren Sie ihr Ergebnis mit Bezug auf ihr Resultat aus Teilaufgabe \( 8 \mathrm{~b} \).
ich dachte eigentlich ich hätte das Thema mit den Zylinderkoordinaten halbwegs verstanden, aber diese Aufgabe aus einer Altklausur wirft mich komplett raus.
Kann irgendjemand vielleicht erklären was ich hier überhaupt machen soll/wie vorgehen, da ich hier wirklich nichts von den Formulierungen in der Aufgabenstellung wirklich verstehe so.
Viele Grüße
Nele xx
