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Um die Koordinaten des Flächenschwerpunkts für den dargestellten Querschnitt eines Rotorblattes zu bestimmen, müssen wir die Schwerpunktformeln verwenden. Angesichts dessen, dass kein spezifisches Bild oder spezifische Gleichungen der Grenzen der Fläche gegeben sind, werde ich einen allgemeinen Ansatz verwenden, um zu erläutern, wie die Koordinaten des Flächenschwerpunkts berechnet werden können.
Allgemeine Schritte zur Berechnung des Flächenschwerpunkts:
Der Flächenschwerpunkt (\(x_s, y_s\)) einer Fläche kann mit folgenden Formeln bestimmt werden:
\(x_s = \frac{1}{A}\int x \,dA\)
\(y_s = \frac{1}{A}\int y \,dA\)
wobei \(A\) die Gesamtfläche ist und \(dA\) das differentielle Flächenelement darstellt.
a) Quadratisches differentielles Flächenelement \(\mathrm{d}A = \mathrm{d}x \mathrm{d}y\):
Bei einem quadratischen Flächenelement betrachten wir das Element \(dA\) als ein kleines Quadrat mit Seitenlänge \(dx\) bzw. \(dy\).
1. Zuerst bestimmen wir die Fläche \(A\) durch Integration über die gegebene Fläche. Dies wäre normalerweise durch ein Doppelintegral über \(x\) und \(y\) dargestellt:
\(A = \int \int dA = \int \int \,dx\,dy\)
2. Als Nächstes berechnen wir \(x_s\) und \(y_s\) mit den obigen Formeln unter Einbeziehung der spezifischen Grenzen der Fläche.
3. Solche Grenzen könnten zum Beispiel durch die Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) gegeben sein, die den oberen und unteren Rand der Fläche beschreiben.
b) Rechteckiges differentielles Flächenelement parallel zur \(y\)-Achse der Dicke \(dx\):
In diesem Fall betrachten wir ein rechteckiges Flächenelement, das in die vertikale Richtung gestreckt ist und eine kleine Dicke \(dx\) aufweist.
1. Die Gesamtfläche \(A\) kann immer noch durch die Integration über die Fläche ermittelt werden, allerdings wird \(A\) hier oft durch ein einfacheres Integral ausgedrückt, falls die Begrenzungen der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) bekannt sind:
\(A = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx\)
mit \(a\) und \(b\) als den Grenzen der Integration in \(x\)-Richtung.
2. Die \(x_s\)-Koordinate des Schwerpunkts ist ähnlich berechnet, aber mit einem gewichteten \(x\):
\(x_s = \frac{1}{A}\int_{a}^{b} x \, [f(x) - g(x)] \, dx\)
3. Die \(y_s\)-Koordinate wird manchmal durch einen Mittelwert oder durch eine ähnliche Integration, die die \(y\)-Grenzen beachtet, bestimmt:
\(y_s = \frac{1}{A} \int_{a}^{b} \left[ \frac{f(x) + g(x)}{2} \right] [f(x) - g(x)] \, dx\)
Dieser Schritt berücksichtigt, dass das differentielle Flächenelement eine Höhe von \(f(x) - g(x)\) und eine mittlere Position von \(\frac{f(x) + g(x)}{2}\) hat.
Zusammenfassung:
Ohne spezifische Funktionen oder Grenzen ist es nicht möglich, exakte Werte für \(x_s\) und \(y_s\) anzugeben. Die obigen Formeln bieten jedoch einen Rahmen, wie man den Flächenschwerpunkt für gegebene Funktionen findet, sowohl mittels quadratischer als auch rechteckiger differentieller Flächenelemente. Für die konkrete Berechnung benötigt man die genauen mathematischen Beschreibungen der Ränder des Querschnitts.
