Komparative Statik - Slutsky-Zerlegung; Kompensierte Nachfrage

Question

Hallo Zusammen,

gegeben ist die Lagrange Formel mit U(c₁,c₂) = ln(c₁) + ln(c₂) und somit L = c₂ - (1+r) p₁/p₂ * (m₁ - c₁) + θ (U(c₁, c₂) - Ù).

Durch die Bedingungen erster Odnung und entsprechendem Einsetzen bin ich bereits zu folgenden Ergebnissen für c₁ und c₂ gekommen:

c₂ = (1+r) * p₁/p₂ * c₁    und durch einsetzen in die Lagrange Funktion ergibt sich:

c₁ = (p₂/(1+r)*p₁ * e^Ù)^0,5   und durch einsetzen dieses Ergebnisses in die Formel von c₂:

c₂ = (1+r)* p₁/p₂ * (p₂/(1+r)*p₁ * e^Ù)^0,5

Laut Lösungsschema stimmen meine Ergebnisse auch soweit. Allerdings verstehe ich den letzten Schritt nicht, nachdem für c₂ = ((1+r) * p₁/p₂ * e^Ù)^0,5 als endgültige Lösung gilt.

Mir ist klar, dass einfach der Ausdruck vor der Klammer mit in die Klammer einbezogen wurde, allerdings verstehe ich nicht, wo der Ausdruck p₁/p₂ vor der Klammer hin ist. 

Vielen Dank schon mal im voraus für die Hilfe!

Answer 1

Du hast $$ c_2 = (1+r)\cdot \frac{p_1}{p_2} \cdot \left( \frac{p_2}{1+r} \cdot p_1 \cdot e^{\hat U} \right)^{0,5} = \frac{1+r}{(1+r)^{0.5}} \cdot \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{p_2^{0.5}}{p_1^{0.5}} \left( e^{\hat U} \right)^{0.5} $$

Und das ist gleich dem verlangten Ergebnis, wie man durch kürzen und zusammenfassen sieht.