Was sind die Euler-Gleichungen dieses Systems?

Question

Liebe Community!

Bei folgender Aufgabe habe ich Probleme: "Betrachte die Erde als Ellipsoid. Was sind die Euler-Gleichungen dieses Systems? Die Winkelgeschwindigkeit ω und Massenverteilung sind als konstant anzunehmen."

Die Euler-Gleichungen hätte ich allgemein wie folgend angeschrieben:

\(  D_1=\Theta_1\dot{\omega_1}+\left(\Theta_3-\Theta_2\right)\omega_2\omega_3 \)

\(  D_2=\Theta_2\dot{\omega_2}+\left(\Theta_1-\Theta_3\right)\omega_3\omega_1 \)

\(  D_3=\Theta_3\dot{\omega_3}+\left(\Theta_2-\Theta_1\right)\omega_1\omega_2 \) 

mit \( D_i \) die von außen angreifenden Drehmomenten, \( \Theta_i \) den Hauptträgheitsmomente und \( \omega_i \) den Winkelgeschwindigkeiten.

In der Angabe wird "die" Winkelgeschwindigkeit \( \vec{\omega}\ \) als konstant angegeben, wird hier also davon ausgegangen, dass es nur eine Rotation gibt, zwei der drei Winkelgeschwindigkeiten also nicht nur konstant sondern gleich 0 sind? Zumindest ein Summand muss wegfallen, eine Ableitung \( \dot{\omega_{i}} \) muss ja 0 sein wenn \( \vec{\omega}_i \ = const. \) gilt. Außerdem sollte die konstante Winkelgeschwindigkeit \( \vec{\omega_i}\ \) eine Rotation um die zugehörige Hauptträgheitsachse bedingen. Kann man, mit der Angabe ohne Blick in die Realität, weitere Vereinfachungen durchführen und Terme eliminieren? Oder bin ich hier sowieso am Holzweg.

Danke im Voraus!

Comments

da steht doch betrachte die Erde, dass deren Achse fest ist und durch die kurze Achse der Ellipse Gewehr ist damit klar.

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Danke für den Kommentar, welche Gleichungen bleiben dann aber überhaupt noch übrig? Wenn zwei der drei Omegas 0 sind und beim anderen die Ableitung 0 ist, steht doch überall nur \( D_i = 0 \) da?

Answer 1

Die Euler-Gleichungen beschreiben die Bewegung eines starren Körpers um seinen
Schwerpunkt unter Berücksichtigung von Drehmomenten.
Für die Erde als Ellipsoid lautet die Formel für die Euler-Gleichungen:
\( \begin{array}{l} I_{1} \dot{\omega}_{1}-\left(I_{2}-I_{3}\right) \omega_{2} \omega_{3}=M_{1} \\ I_{2} \dot{\omega}_{2}-\left(I_{3}-I_{1}\right) \omega_{3} \omega_{1}=M_{2} \\ I_{3} \dot{\omega}_{3}-\left(I_{1}-I_{2}\right) \omega_{1} \omega_{2}=M_{3} \end{array} \)
wobei
- \( I_{1} I_{2} \) und \( I_{3} \) die Trägheitsmomente in den jeweiligen Hauptachsen des Ellipsoids sind.
- \( \omega_{1}, \omega_{2} \) und \( \omega_{3} \) sind die Winkelgeschwindigkeiten um die entsprechenden Hauptachsen des Ellipsoids.
- \( M_{1}, M_{2} \) und \( M_{3} \) sind die Drehmomente um die entsprechenden Hauptachsen des Ellipsoids.
Da die Winkelgeschwindigkeit und die Massenverteilung als konstant angenommen werden, sind die Terme \( \dot{\omega}_{i} \) in den Gleichungen gleich Null.