Euler Gleichung anwenden?

Question

Aufgabe:

Für einen kräftefreien Kreisel $\left(\vec{F}_{A}^{e}=\overrightarrow{0}\right)$ kann man den Schwerpunkt als Ursprung für das raumfeste und das körperfeste System wählen. Bestimmen Sie $\vec{\omega}^{\prime}(t)$ durch Integration der Euler-Gleichung für einen kräftefreien Kreisel, der symmetrisch ist $\left(\Theta_{1}^{\prime}=\Theta_{2}^{\prime} \neq \Theta_{3}^{\prime}\right),$ mit Anfangsbedingungen $\omega_{1}^{\prime}(0), \omega_{2}^{\prime}(0)=0, \omega_{3}^{\prime}(0) .$ Diskutieren Sie,
wie sich der starre Körper im raumfesten System bewegt.


Ich habe als Ansatz, dass bei der Integration der Euler-Gleichung es zweckmäßig ist, erst die Gleichung für $\omega_{3}^{\prime}$ zu integrieren und für die Integration der anderen beiden Komponentengleichungen die Größe $\omega_{0}:=\omega_{3}^{\prime}\left(\Theta_{3}^{\prime}-\Theta_{1}^{\prime}\right) / \Theta_{1}^{\prime}$ einzuführen. Hat einer eine Idee, wie man das ab da fortführt?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Euler Gleichung für einen kräftefreien Kreisel

Die Euler-Gleichungen für einen kräftefreien Kreisel lauten:

$\begin{aligned} \Theta_{1}^{\prime}\frac{d\omega_{1}^{\prime}}{dt} &= (\Theta_{2}^{\prime} - \Theta_{3}^{\prime})\omega_{2}^{\prime}\omega_{3}^{\prime}, \\ \Theta_{2}^{\prime}\frac{d\omega_{2}^{\prime}}{dt} &= (\Theta_{3}^{\prime} - \Theta_{1}^{\prime})\omega_{3}^{\prime}\omega_{1}^{\prime}, \\ \Theta_{3}^{\prime}\frac{d\omega_{3}^{\prime}}{dt} &= (\Theta_{1}^{\prime} - \Theta_{2}^{\prime})\omega_{1}^{\prime}\omega_{2}^{\prime}. \end{aligned}$

Da es sich um einen symmetrischen Kreisel handelt ($\Theta_{1}^{\prime} = \Theta_{2}^{\prime} \neq \Theta_{3}^{\prime}$) und die Anfangsbedingungen $\omega_{2}^{\prime}(0) = 0$ sind, vereinfacht sich die dritte Gleichung zu:

$\Theta_{3}^{\prime}\frac{d\omega_{3}^{\prime}}{dt} = 0,$

weil $\omega_{1}^{\prime}\omega_{2}^{\prime}=0$ aufgrund von $\omega_{2}^{\prime}(0)=0$. Dies bedeutet, dass $\frac{d\omega_{3}^{\prime}}{dt} = 0$, folglich ist $\omega_{3}^{\prime}$ konstant. Daher ist $\omega_{3}^{\prime}(t) = \omega_{3}^{\prime}(0)$.

Integration der anderen Komponenten

Für die anderen beiden Komponenten integrieren wir unter Verwendung der eingeführten Größe $\omega_{0} := \omega_{3}^{\prime}\frac{(\Theta_{3}^{\prime} - \Theta_{1}^{\prime})}{\Theta_{1}^{\prime}}$. Da $\omega_{3}^{\prime}$ konstant ist, ist auch $\omega_{0}$ konstant.

Für die erste Gleichung erhalten wir:

$\Theta_{1}^{\prime}\frac{d\omega_{1}^{\prime}}{dt} = (\Theta_{2}^{\prime} - \Theta_{3}^{\prime})\omega_{2}^{\prime}\omega_{3}^{\prime}.$

Da $\Theta_{1}^{\prime} = \Theta_{2}^{\prime}$, vereinfacht sich der Ausdruck zu $\frac{d\omega_{1}^{\prime}}{dt} = \frac{\Theta_{3}^{\prime} - \Theta_{1}^{\prime}}{\Theta_{1}^{\prime}}\omega_{2}^{\prime}\omega_{3}^{\prime} = -\omega_{0}\omega_{2}^{\prime}$.

Für die zweite Komponente, unter denselben Annahmen und da $\omega_{2}^{\prime}(0)=0$, bleibt $\omega_{2}^{\prime}(t)$ in einem bestimmten Verhalten erhalten, das durch Integration der obigen Gleichungen erreicht wird.

Diskussion

Die oben stehende Behandlung zeigt, dass für einen symmetrischen, kräftefreien Kreisel mit gegebenen Anfangsbedingungen $\omega_{3}^{\prime}$ konstant ist, während $\omega_{1}^{\prime}(t)$ und $\omega_{2}^{\prime}(t)$ von der Zeit abhängen könnten, abhängig davon, wie die Integration weitergeführt wird. Da $\omega_{2}^{\prime}(0) = 0$ und ohne zusätzliche externe Kräfte oder Drehmomente, die auf den Kreisel wirken, neigt der Kreisel dazu, in seiner ursprünglichen Rotationsebene um die Achse mit dem Trägheitsmoment $\Theta_{3}^{\prime}$ zu präzedieren. Ohne externe Störungen bleibt diese Rotation stabil. Die spezifische Form von $\omega_{1}^{\prime}(t)$ und $\omega_{2}^{\prime}(t)$ definiert die Präzession des Kreisels im Raum.