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Euler Gleichung für einen kräftefreien Kreisel
Die Euler-Gleichungen für einen kräftefreien Kreisel lauten:
\(
\begin{aligned}
\Theta_{1}^{\prime}\frac{d\omega_{1}^{\prime}}{dt} &= (\Theta_{2}^{\prime} - \Theta_{3}^{\prime})\omega_{2}^{\prime}\omega_{3}^{\prime}, \\
\Theta_{2}^{\prime}\frac{d\omega_{2}^{\prime}}{dt} &= (\Theta_{3}^{\prime} - \Theta_{1}^{\prime})\omega_{3}^{\prime}\omega_{1}^{\prime}, \\
\Theta_{3}^{\prime}\frac{d\omega_{3}^{\prime}}{dt} &= (\Theta_{1}^{\prime} - \Theta_{2}^{\prime})\omega_{1}^{\prime}\omega_{2}^{\prime}.
\end{aligned}
\)
Da es sich um einen symmetrischen Kreisel handelt (\(\Theta_{1}^{\prime} = \Theta_{2}^{\prime} \neq \Theta_{3}^{\prime}\)) und die Anfangsbedingungen \(\omega_{2}^{\prime}(0) = 0\) sind, vereinfacht sich die dritte Gleichung zu:
\(
\Theta_{3}^{\prime}\frac{d\omega_{3}^{\prime}}{dt} = 0,
\)
weil \(\omega_{1}^{\prime}\omega_{2}^{\prime}=0\) aufgrund von \(\omega_{2}^{\prime}(0)=0\). Dies bedeutet, dass \(\frac{d\omega_{3}^{\prime}}{dt} = 0\), folglich ist \(\omega_{3}^{\prime}\) konstant. Daher ist \(\omega_{3}^{\prime}(t) = \omega_{3}^{\prime}(0)\).
Integration der anderen Komponenten
Für die anderen beiden Komponenten integrieren wir unter Verwendung der eingeführten Größe \(\omega_{0} := \omega_{3}^{\prime}\frac{(\Theta_{3}^{\prime} - \Theta_{1}^{\prime})}{\Theta_{1}^{\prime}}\). Da \(\omega_{3}^{\prime}\) konstant ist, ist auch \(\omega_{0}\) konstant.
Für die erste Gleichung erhalten wir:
\(
\Theta_{1}^{\prime}\frac{d\omega_{1}^{\prime}}{dt} = (\Theta_{2}^{\prime} - \Theta_{3}^{\prime})\omega_{2}^{\prime}\omega_{3}^{\prime}.
\)
Da \(\Theta_{1}^{\prime} = \Theta_{2}^{\prime}\), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(\frac{d\omega_{1}^{\prime}}{dt} = \frac{\Theta_{3}^{\prime} - \Theta_{1}^{\prime}}{\Theta_{1}^{\prime}}\omega_{2}^{\prime}\omega_{3}^{\prime} = -\omega_{0}\omega_{2}^{\prime}\).
Für die zweite Komponente, unter denselben Annahmen und da \(\omega_{2}^{\prime}(0)=0\), bleibt \(\omega_{2}^{\prime}(t)\) in einem bestimmten Verhalten erhalten, das durch Integration der obigen Gleichungen erreicht wird.
Diskussion
Die oben stehende Behandlung zeigt, dass für einen symmetrischen, kräftefreien Kreisel mit gegebenen Anfangsbedingungen \(\omega_{3}^{\prime}\) konstant ist, während \(\omega_{1}^{\prime}(t)\) und \(\omega_{2}^{\prime}(t)\) von der Zeit abhängen könnten, abhängig davon, wie die Integration weitergeführt wird. Da \(\omega_{2}^{\prime}(0) = 0\) und ohne zusätzliche externe Kräfte oder Drehmomente, die auf den Kreisel wirken, neigt der Kreisel dazu, in seiner ursprünglichen Rotationsebene um die Achse mit dem Trägheitsmoment \(\Theta_{3}^{\prime}\) zu präzedieren. Ohne externe Störungen bleibt diese Rotation stabil. Die spezifische Form von \(\omega_{1}^{\prime}(t)\) und \(\omega_{2}^{\prime}(t)\) definiert die Präzession des Kreisels im Raum.
