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Zeige, dass sich die kinetische Energie eines starren Körpers schreiben lässt:

\( E_{\mathrm{kin}}=E_{\mathrm{trans}}+E_{\mathrm{rot}} \)
\( \mathrm{mit} \)
\( E_{\text {trans }}=\frac{M}{2}\left|\frac{d \vec{R}}{d t}\right|^{2}, \quad E_{\text {rot }}=\sum \limits_{i=1}^{3} \sum \limits_{k=1}^{3} \frac{\Theta_{i k}^{\prime}}{2} \omega_{i}^{\prime} \omega_{k}^{\prime} . \)

Auch muss ich zeigen, dass \( E_{\text {rot }}>0 \) gilt für alle \( \vec{\omega}^{\prime} \neq \overrightarrow{0} \).

Ansatz/Problem:

Ich komme nicht drauf, warum sich das so schreiben lässt? Ich kenne zwar die normale Formel für die Rotationsenergie mit Trägheitsmoment, aber weiß nicht wie man das mit diesen Formeln macht.

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Titel: Zusammensetzung der kinetischen Energie zeigen

Stichworte: rotationsenergie,kinetische,eneri,energie

Aufgabe:

Zeige, dass sich die kinetische Energie eines starren Körpers schreiben lässt

\( E_{\mathrm{kin}}=E_{\mathrm{trans}}+E_{\mathrm{rot}} \)
\( \mathrm{mit} \)
\( E_{\text {trans }}=\frac{M}{2}\left|\frac{d \vec{R}}{d t}\right|^{2}, \quad E_{\text {rot }}=\sum \limits_{i=1}^{3} \sum \limits_{k=1}^{3} \frac{\Theta_{i k}^{\prime}}{2} \omega_{i}^{\prime} \omega_{k}^{\prime} . \)

Auch muss ich zeigen, dass \( E_{\text {rot }}>0 \) gilt für alle \( \vec{\omega}^{\prime} \neq \overrightarrow{0} \).

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Kinetische Energie in Komponenten

Um zu verstehen, wie man die kinetische Energie eines starren Körpers in Komponenten der Translations- und Rotationsenergie zerlegt und warum \(E_{\text{rot}} > 0\) für alle \(\vec{\omega}^{\prime} \neq \vec{0}\) gilt, hilft es, zunächst die Grundlagen der Bewegung starrer Körper zu betrachten.

Ein starrer Körper kann sich in zwei grundlegende Arten bewegen: durch Translation (Bewegung entlang einer Geraden, bei der sich alle Teile des Körpers mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen) und durch Rotation um eine Achse.

Translationsenergie

Die Translationsenergie \(E_{\text{trans}}\) ist die kinetische Energie, die sich aus der Bewegung des Massenzentrums des Körpers ergibt. Sie kann formuliert werden als:

\( E_{\text{trans}} = \frac{M}{2}\left|\frac{d \vec{R}}{d t}\right|^{2}, \)

wobei \(M\) die Masse des Körpers, \(\vec{R}\) die Position des Massenzentrums und \(\frac{d \vec{R}}{d t}\) die Geschwindigkeit des Massenzentrums ist. Diese Gleichung folgt direkt aus der allgemeinen Definition der kinetischen Energie \(E_{\text{kin}} = \frac{m v^2}{2}\), wobei \(m\) die Masse und \(v\) die Geschwindigkeit eines Objekts sind.

Rotationsenergie

Die Rotationsenergie \(E_{\text{rot}}\) resultiert aus der Rotation des Körpers um eine Achse. Sie wird allgemein mit dem Trägheitsmoment und der Winkelgeschwindigkeit in Beziehung gesetzt:

\( E_{\text{rot}}=\sum \limits_{i=1}^{3} \sum \limits_{k=1}^{3} \frac{\Theta_{i k}^{\prime}}{2} \omega_{i}^{\prime} \omega_{k}^{\prime}, \)

wobei \(\Theta_{i k}^{\prime}\) die Komponenten des Trägheitsmomententensors in einem körperfesten Koordinatensystem darstellen, und \(\omega_{i}^{\prime}\) und \(\omega_{k}^{\prime}\) die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit in diesem Koordinatensystem sind.

Warum ist \(E_{\text{rot}} > 0\) für \(\vec{\omega}^{\prime} \neq \vec{0}\)?

Um zu zeigen, dass \(E_{\text{rot}}\) immer positiv ist (für jeden Nicht-Null-Winkelgeschwindigkeitsvektor \(\vec{\omega}^{\prime}\)), können wir die Eigenschaften des Trägheitsmomententensors und der Winkelgeschwindigkeit nutzen.

Der Trägheitsmomententensor ist positiv definit für jeden starren Körper. Das bedeutet, für jeden Vektor \(\vec{\omega}^{\prime} \neq \vec{0}\), ist der Ausdruck

\( \vec{\omega}^{\prime T} \Theta \vec{\omega}^{\prime} > 0, \)

wo \(\vec{\omega}^{\prime T}\) den transponierten Vektor darstellt und \(\Theta\) den Trägheitsmomententensor. Diese Eigenschaft sichert, dass die Rotationsenergie positiv sein muss, solange der Körper sich dreht (\(\vec{\omega}^{\prime} \neq \vec{0}\)).

Die mathematische Begründung lässt sich auf Eigenschaften von positiv definiten Matrizen zurückführen, wonach eine quadratische Matrix \(A\) positiv definit ist, wenn für alle Vektoren \(x \neq 0\) gilt, dass \(x^T A x > 0\). Da der Trägheitsmomententensor eine solche Matrix in Bezug auf den Winkelgeschwindigkeitsvektor \(\vec{\omega}^{\prime}\) ist, folgt, dass \(E_{\text{rot}} > 0\).

Zusammengefasst, lässt sich die kinetische Energie eines starren Körpers in die Translations- und Rotationsanteile zerlegen. Die positive Natur der Rotationsenergie rührt daher, dass der Trägheitsmomententensor positiv definit ist, was garantiert, dass für jede Nicht-Null-Rotationsbewegung die Rotationsenergie positiv ist.
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