Berechnen Sie Betrag und Komponenten der in A angreifenden Gesamtkraft.

Question

Aufgabe:

Vom Punkt A(1; 0; 4) sind Seile zu den Punkten B(1; 3; 0), C(7 ; 3; 2), D(2; 2; 2) gespannt.

Die Zugkräfte in den Seilen haben die Beträge 10000 N (Seil von A nach B), 14000 N (Seil von A nach C), 12000 N (Seil von A nach D).

Berechnen Sie Betrag und Komponenten der in A angreifenden Gesamtkraft.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich an die Aufgabe ran?

Answer 1

Verlängere den Vektor \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0\\3\\-4 \end{pmatrix} \) auf 10 kN, also \( \begin{pmatrix} 0\\6\\-8 \end{pmatrix} \).

Verlängere den Vektor \( \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 6\\3\\-2 \end{pmatrix} \) auf 14 kN, also \( \begin{pmatrix} 12\\6\\-4 \end{pmatrix} \).

Verlängere den Vektor \( \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix} \) auf 12 kN, also \( \begin{pmatrix} 4\\8\\-8 \end{pmatrix} \).

Betrag der Gesamtkraft: Kräftevektoren addieren und Betrag ausrechnen.

Komponenten der Gesamtkraft: Komponenten der Kräftevektoren addieren.

Answer 2

Aloha :)

Du kennst bereits die Beträge der Zugkräfte:$$F_{AB}=10\,000\,\mathrm N$$$$F_{AC}=14\,000\,\mathrm N$$$$F_{AD}=12\,000\,\mathrm N$$

Zur Bestimmung der Gesamtkraft im Punkt \(A\) brauchst du noch die Richtungen der Kräfte. Dazu bestimmen wir die normierten Richtungsvektoren:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\-4\end{pmatrix}\quad\implies\quad\overrightarrow{AB}^0=\frac15\begin{pmatrix}0\\3\\-4\end{pmatrix}$$$$\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a=\begin{pmatrix}7\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\3\\-2\end{pmatrix}\quad\implies\quad\overrightarrow{AC}^0=\frac17\begin{pmatrix}6\\3\\-2\end{pmatrix}$$$$\overrightarrow{AD}=\vec d-\vec a=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\quad\implies\quad\overrightarrow{AD}^0=\frac13\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$$Damit erhalten wir die Kräfte, die in \(A\) wirken als Vektoren:$$\vec F_{AB}=F_{AB}\cdot\overrightarrow{AB}^0=2000\,\mathrm N\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\,\mathrm N\\6000\,\mathrm N\\-8000\,\mathrm N\end{pmatrix}$$$$\vec F_{AC}=F_{AC}\cdot\overrightarrow{AC}^0=2000\,\mathrm N\cdot\begin{pmatrix}6\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12000\,\mathrm N\\6000\,\mathrm N\\-4000\,\mathrm N\end{pmatrix}$$$$\vec F_{AD}=F_{AD}\cdot\overrightarrow{AD}^0=4000\,\mathrm N\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4000\,\mathrm N\\8000\,\mathrm N\\-8000\,\mathrm N\end{pmatrix}$$

Die in \(A\) wirkende Gesamkraft ist daher:$$\vec F_{\text{ges}}=\vec F_{AB}+\vec F_{AC}+\vec F_{AD}=\begin{pmatrix}16000\,\mathrm N\\20000\,\mathrm N\\-20000\,\mathrm N\end{pmatrix}=4000\,\mathrm N\begin{pmatrix}4\\5\\-5\end{pmatrix}$$Damit hast du schon mal die einzelnen Komponenten der Gesamtkraft, ihr Betrag ist:$$F_{\text{ges}}=4000\,\mathrm N\cdot\sqrt{4^2+5^2+(-5)^2}=4000\,\mathrm N\cdot\sqrt{66}\approx32496\,\mathrm N$$

Comments

Ich meine, bei \( \overrightarrow{F_{AC}} \) stimmt etwas nicht.

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Ja, du hast völlig Recht, ein dummer Rechenfehler.

Ich habe ihn korrgiert.

Danke dir für den Hinweis ;)