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Euler-Lagrange-Gleichungen
Die Euler-Lagrange-Gleichung für die Lagrangefunktion \(L(x_1, x_2, x_3, \dot{x}_1, \dot{x}_2, \dot{x}_3)\) kann formuliert werden als:
\(
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial x_i} = 0
\)
für \( i = 1, 2, 3 \). Die Lagrangefunktion \(L\) ist gegeben durch:
\(
L = \frac{m}{2} \sum \limits_{i=1}^{3} \dot{x}_{i}^2 + q \sum \limits_{i=1}^{3} \dot{x}_{i} A_{i}(x_1, x_2, x_3)
\)
Berechnen wir zuerst die partiellen Ableitungen:
1. \( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} = m\dot{x}_i + qA_i \)
2. \( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \right) = m\ddot{x}_i + q \sum \limits_{j=1}^{3} \frac{\partial A_i}{\partial x_j} \dot{x}_j \)
3. \( \frac{\partial L}{\partial x_i} = q \sum \limits_{j=1}^{3} \dot{x}_j \frac{\partial A_j}{\partial x_i} \)
Damit lautet die Euler-Lagrange-Gleichung für jedes \(i\):
\(
m\ddot{x}_i + q \sum \limits_{j=1}^{3} \frac{\partial A_i}{\partial x_j} \dot{x}_j - q \sum \limits_{j=1}^{3} \dot{x}_j \frac{\partial A_j}{\partial x_i} = 0
\)
Die Differenz im zweiten und dritten Term entspricht der \(i\)-ten Komponente der Lorentzkraft \( \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B} \), weil die Ableitungen von \( \vec{A} \) im Zusammenhang mit dem Magnetfeld \( \vec{B} = \nabla \times \vec{A} \) stehen.
Konjugierte Impulse und Hamiltonfunktion
(a) Die kanonisch konjugierten Impulse \( p_i \) sind definiert als:
\(
p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} = m\dot{x}_i + qA_i
\)
(b) Die Hamiltonfunktion ist die Legendre-Transformation der Lagrangefunktion und wird definiert als:
\(
H = \sum \limits_{i=1}^{3} p_i \dot{x}_i - L
\)
Einsetzen der Werte für \( p_i \) und \( L \):
\(
H = \sum \limits_{i=1}^{3} (m\dot{x}_i + qA_i) \dot{x}_i - \left( \frac{m}{2} \sum \limits_{i=1}^{3} \dot{x}_{i}^2 + q \sum \limits_{i=1}^{3} \dot{x}_{i} A_{i} \right)
\)
Vereinfacht zu:
\(
H = \frac{m}{2} \sum \limits_{i=1}^{3} \dot{x}_{i}^2 + \frac{1}{2} q \sum \limits_{i=1}^{3} \dot{x}_{i} A_{i}
\)
Da die Hamiltonfunktion in den konjugierten Impulsen und nicht in den Geschwindigkeiten ausgedrückt werden sollte, nutzen wir \( \dot{x}_i = (p_i - qA_i) / m \):
\(
H = \frac{1}{2m} \sum \limits_{i=1}^{3} (p_i - qA_i)^2 + V(x_1, x_2, x_3)
\)
wobei \( V(x_1, x_2, x_3) \) ein potenzielles Energiefeld darstellen könnte, das hier gleich null ist, wenn es nicht in der ursprünglichen Lagrangefunktion enthalten war. Dies ergibt die vollständige Formel für die Hamiltonfunktion in Abhängigkeit von den konjugierten Impulsen \( p_i \) und den Koordinaten \( x_i \).
