Wie integriere ich Euler-Lagrange Gleichungen?

Question

Ein Massenpunkt ist an einen Kegel mit Öffnungswinkel \( \vartheta_{0} \) gebunden, siehe Abbildung. Es wirke das homogene Gravitationsfeld mit Beschleunigung \( g . \) Reibungseffekte sind zu vernachlässigen.
Geben Sie die Lagrangefunktion an. Dabei ist es zweckmäßig, Kugelkordinaten \( (r, \vartheta, \varphi) \) einzuführen und \( r \) und \( \varphi \) als generalisierte Koordinaten zu verwenden.

Bei dieser Aufgabe muss ich die Euler-Lagrange-Gleichungen mit den Anfangsbedingungen
\( \begin{array}{l} \varphi(0)=0, \quad \dot{\varphi}(0)=\omega_{0} \\ r(0)=r_{0}, \quad \dot{r}(0)=0 \end{array} \)
Integrieren. Kann mir jemand helfen, wie das geht? Ich hatte zuvor noch nie mit Lagrange Gleichungen zu tun gehabt. Danke!

Comments

kannst du denn die kinetische und potentielle Energie aufschreiben, in den gegebenen Koordinaten? Woran scheiterst du? am integrieren oder am Aufstellen der Gleichung?

Answer 1

Hallo,

Geschwindigkeit in Kugelkoordinaten kann man hier nachlesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Differentiale,_Volumenelement,_Fl%C3%A4chenelement,_Linienelement

Theta ist bei dieser Aufgabe konstant (=ϑ_{0})

Also ist

\(L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot r^2+r^2sin^2(\vartheta_0)\dot \varphi)^2 -mgrcos(\vartheta_0)\)

Aufstellen der Euler-Langrange Gleichungen ( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Formalismus) liefert als Gleichung für Phi:

\(\ddot \varphi = 0 \Rightarrow \varphi (t)=\omega_0 t \)

Die Gleichung in r lautet:

\(\ddot r-rsin(\vartheta_0) \dot \varphi^2 +gcos(\vartheta_0)=0 \\\ddot r-rsin(\vartheta_0) \omega_0^2 =-gcos(\vartheta_0) \)

Hier löst man zuerst die homogene Gleichung

\(\ddot r-rsin^2(\vartheta_0) \omega_0^2 =-gcos(\vartheta_0)=0 \)

und eine inhomogene Lösung findet man per Ansatz.

Lösung:

\(r(t)=\frac{gcos(\vartheta_0)}{sin^2(\vartheta_0)\omega_0^2}+c_1 e^{sin(\vartheta_0)\omega_0 t}+c_2 e^{sin(\vartheta_0)\omega_0 t}\)

c1 und c2 sind noch mit den Anfangsbedingungen zu ermitteln.

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Super, vielen Dank für die ausführliche Erläuterung!