Guten Morgen :)
Du kennst bestimmt das Gravitationsgesetz für zwei Massenpunkte \(m_1\) und \(m_2\) mit dem Abstand \(r\)
\(F_G=\gamma \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\)
\(\gamma\) ist die Gravitationskonstante https://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationskonstante.
Setze:
\(m_1=M_N\) für die Masse des Neptun.
Gesucht:
Die Schwerebeschleunigung \(10 000\) km über der Neptunoberfläche \(g= ?\).
Bei solchen Problemen wird häufi eine Probemasse \(m_2=m\) betrachtet. Das klingt erstmal merkwürdig, gemeint ist damit einfach irgendein Objekt mit Masse (Bspw. ein Ball) .
Nun überlegen wir uns, welche Kräfte auf die Probemasse \(m\), \(10 000\) km über der Neptunoberfläche wirken:
Nach dem newtonschen Gesetz gilt für die Gesamtkraft auf eine Punktmasse: \(F=m\cdot a\)
In unserem Fall ist die einzige nicht zu vernachlässigende Kraft die Gravitationskraft vom Neptun. Die Beschleunigung \(a\) \(10 000\) km über der Neptunoberfläche entspricht also der Schwerebeschleunigung \(g\) . Es gilt:
\(F=m\cdot a=m\cdot g= F_G=\gamma \frac{m \cdot M}{r^2}\)
Teile beide Seiten der Gleichungen durch \(m\), dann erhältst du:
\(g= \gamma \frac{ M_N}{r^2}\)
Der häufigste Fehler (ist mir auch schon mal passiert) ist, dass man für den Abstand \(r=h=10000\)km setzt, aber du betrachtest den Neptun als Massenpunkt. Du nimmst also an, dass die gesamte Masse des Planeten im Zentrum des Planet konzentriert ist.
Den Planeten kannst du nährungsweise als Kugel mit dem Radius \(r_N\) betrachten
Das heißt, du musst den Abstand \(r=r_N+h=r_N+10000km\) vom Zentrum zur Probemasse betrachten:
\(g= \gamma \frac{ M_N}{(r_N+h)^2}=5,56 m/s^2\)
Dabei habe ich durch Recherche erfahren (gerundete Werte):
Radius Neptun: 24600 km
Masse Neptun: 1026 kg
Denk beim Einsetzten daran, von Kilometer in Meter umzurechnen.
Anmerkung:
Für \(h=0\) erhältst du \(g_N= \gamma \frac{ M_N}{r_N^2}=11 m/s^2\)
Das zeigt, dass die Formel stimmt, wie man durch Eingabe "neptun schwerebeschleunigung" bei Google erfahren kann.
