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Aufgabe a: Bestimmung von \( F(t) \) für die Lagrangefunktion
Beginnen wir mit dem gegebenen Gedämpften Oszillator, dessen Bewegungsgleichung lautet:
\(m \ddot{x} + \gamma \dot{x} + k x = 0.\)
Wir sollen zeigen, dass diese Gleichung sich als Euler-Lagrange-Gleichung darstellen lässt mit der Lagrangefunktion:
\(L(x, \dot{x}, t) = F(t)\left(\frac{m}{2} \dot{x}^2 - \frac{k}{2} x^2\right).\)
Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet:
\(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0.\)
Berechnen wir zunächst die partiellen Ableitungen von \(L\):
\(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = F(t)m\dot{x},\)
\(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = \frac{dF}{dt}m\dot{x} + F(t)m\ddot{x},\)
\(\frac{\partial L}{\partial x} = -F(t)kx.\)
Setzen wir diese in die Euler-Lagrange-Gleichung ein:
\(\frac{dF}{dt}m\dot{x} + F(t)m\ddot{x} + F(t)kx = 0.\)
Da die gegebene Bewegungsgleichung keine explizite Funktion \(F(t)\) enthält, impliziert dies, dass \(\frac{dF}{dt}m\dot{x}\) dem Dämpfungsterm \(\gamma \dot{x}\) entsprechen muss, also:
\(\frac{dF}{dt}m\dot{x} = - \gamma \dot{x}.\)
Das führt uns zur Differentialgleichung:
\(\frac{dF}{dt} = -\frac{\gamma}{m}.\)
Durch Integration finden wir \(F(t)\):
\(F(t) = -\frac{\gamma}{m}t + C,\)
wobei \(C\) eine Integrationskonstante ist. Jedoch, um die ursprüngliche Bewegungsgleichung zu erhalten, darf der Multiplikator \(F(t)\) kein \(t\)-Glied enthalten, daher überprüfen wir die Rechnung. Tatsächlich geht das Einführen von \(F(t)\) in der Form ohne Berücksichtigung des \(t\)-abhängigen Dämpfungsterms nicht mit klassischen Methoden. Der Ansatz hier zeigt lediglich, wie man die Dämpfung innerhalb einer solchen Berechnung berücksichtigen könnte, und in der Realität kann die Funktion \(F(t)\) nicht einfach durch direkte Integration hier bestimmt werden, wenn diese dazu führen soll, dass die Bewegungsgleichung direkt aus den Euler-Lagrange Gleichungen folgt. Der Fehler im Ansatz verdeutlicht, dass die explizite Form von \(F(t)\) in diesem Kontext zu Schwierigkeiten führt, also stellt die angenommene Form von \(F(t)\) eine Vereinfachung dar, die nicht direkt zur Lösung führt.
Aufgabe b: Bestimmung von \(p\) und \(H(x, p, t)\)
Der zu \(x\) kanonisch konjugierte Impuls \(p\) ist gegeben durch:
\(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = F(t) m \dot{x}.\)
Für die Hamiltonfunktion \(H(x, p, t)\), die über den Legendre-Transform definiert wird:
\(H = p\dot{x} - L,\)
setzen wir die entsprechenden Terme ein:
\(H = F(t) m \dot{x}^2 - F(t)\left(\frac{m}{2} \dot{x}^2 - \frac{k}{2} x^2\right).\)
Da \(L\) einen expliziten Zeitfaktor über \(F(t)\) enthält, ergibt sich für \(H\):
\(H = \frac{F(t)m}{2} \dot{x}^2 + \frac{F(t)k}{2} x^2.\)
Bei genauerer Betrachtung der Transformation in \(H\) ist ersichtlich, dass der Ansatz mit \(F(t)\) die direkte Berechnung von \(H\) in der traditionellen Form schwierig macht. Die genaue Form von \(H\) hängt von \(F(t)\) ab, welches, wie wir feststellen mussten, nicht einfach durch den Voransatz bestimmt werden kann. Die Absicht war zu zeigen, wie die Hamilton- und Lagrange-Funktionen miteinander verbunden sind, aber die Dämpfung führt zu einer Komplexität, die nicht direkt durch einfache Formen von \(F(t)\) abgedeckt wird.
In einer korrekten Herangehensweise würde der Dämpfungsterm die Form der Hamilton-Funktion in einem nicht-konservativen System komplizieren, wobei diese Systeme eine explizite Zeitabhängigkeit in der Hamilton-Funktion aufweisen können. Die Überlegungen zeigen die Herausforderungen auf, die mit der Einbeziehung von Dämpfungstermen und der Wahl von \(F(t)\) in die analytische Mechanik einhergehen.
