Überkritische Dämpfung usw. Lösung einer Bewegungsgleichung

Question

Hallo

mir liegt folgende aufgabe vor, hat jemand Ahnung wie man hier vorgeht? Dankeschön

Bestimmen Sie mit Hilfe eines Exponentialansatzes die allgemeine reelle Lösung der Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators
\( \ddot{x}(t)+\beta \dot{x}(t)+\omega^{2} x(t)=0 \)
Unterscheiden Sie die drei Fälle \( \beta^{2}<4 \omega^{2} \) (unterkritische Dämpfung), \( \beta^{2}>4 \omega^{2} \) (überkritische Dämpfung) und \( \beta^{2}=4 \omega^{2} \) (kritische Dämpfung). Plotten Sie für jeden der drei Fälle Ort und Geschwindigkeit als Funktion der Zeit mit willkürlich gewählten Anfangsbedingungen und zeichnen Sie das zugehörige Phasendiagramm.

Hinweis: Im Fall kritischer Dämpfung liefert der Exponentialansatz nur eine Lösung. Die zweite muss durch Probieren gefunden werden.

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Answer 1

Hallo,

Bestimmen Sie mit Hilfe eines Exponentialansatzes die allgemeine reelle Lösung der Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators

Ansatz: x(t)= e^(k *t) , 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen:

->Charakteristische Gleichung:

k² +β k +ω²=0

k_1,2= -β/2 ± √((β²/4) -ω²)

k_1,2= -β/2 ± √(β²-4ω²)/2

allgemeine Lösung:

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Oh klasse, ich danke dir!