Eine Feder mit Federstärke \( k \), die am Punkt \( \vec{r}_{0} \in \mathbb{R}^{2} \) aufgehängt ist, übt die \( \mathrm{Kraft} \)
$$ \vec{F}=-k\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right) $$
auf ein Teilchen am Ort \( \vec{r} \) aus. Wir betrachten ein System, das im Ruhezustand ein Teilchen der Masse \( m \) im Ursprung hat, welches an 4 Federn mit Federstärken \( k_{1}=k_{2}=k_{3}=k_{4}=k>0 \) befestigt ist (siehe Abbildung 1). Die Federn sind jeweils an den Punkten \( (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1) \in \mathbb{R}^{2} \) aufgehängt.
(a) Welche Kraft wirkt auf das Teilchen am Ort \( \vec{r} \in \mathbb{R}^{2} ? \)
(b) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung des Teilchens.
(c) Es sei nun \( m=k \). Lösen Sie die Bewegungsgleichung zum Anfangsort \( \vec{r}(0)=(1,1 / 2)^{\top} \) und der Anfangsgeschwindigkeit \( \dot{r}(0)=(0,1)^{\top} \). Wie sieht die Bahnkurve des Teilchens aus?
Ich benötige eine mathematische Lösung zu dem Problem
