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Unschärferelation und Harmonischer Oszillator
1. Minimale Energie und mittlerer quadratischer Abstand
Um die minimale Energie für ein Teilchen in einem harmonischen Potential zu ermitteln, nutzen wir die Heisenbergsche Unschärferelation:
\(
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
\)
Laut Aufgabenstellung wird angenommen, dass die Gleichheit gilt:
\(
\Delta x \Delta p = \frac{\hbar}{2}
\)
Es wird ebenfalls angenommen, dass \(\Delta x^{2}=x^{2}\) und \(\Delta p^{2}=p^{2}\) gelten. Die Unschärferelation lässt sich daher wie folgt umschreiben:
\(
\Delta x^{2} \Delta p^{2} = \left(\frac{\hbar}{2}\right)^2
\)
Die Energie des Teilchens im harmonischen Potential ist gegeben durch:
\(
E=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}
\)
Ersetzt man \(p^{2}\) durch \(\Delta p^{2}\) und \(x^{2}\) durch \(\Delta x^{2}\), erhält man:
\(
E=\frac{\Delta p^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^{2} \Delta x^{2}
\)
Da wir nach der minimalen Energie suchen, setzten wir \(\Delta p^{2} \Delta x^{2}\) aus der Unschärferelation ein:
\(
E=\frac{1}{2 m}\left(\frac{\hbar}{2 \Delta x}\right)^2+\frac{1}{2} m \omega^{2} \Delta x^{2}
\)
Um die minimale Energie \(E_{\text{min}}\) zu finden, differenzieren wir \(E\) nach \(\Delta x\) und setzen das Ergebnis gleich Null:
\(
\frac{dE}{d(\Delta x)} = -\frac{\hbar^2}{4m(\Delta x)^3}+m \omega^{2} \Delta x = 0
\)
Dies lässt sich umformulieren zu:
\(
\frac{\hbar^2}{4m(\Delta x)^2} = m\omega^2 (\Delta x)^2
\)
Vereinfachung führt zu:
\(
(\Delta x)^4 = \frac{\hbar^2}{4m^2\omega^2}
\)
und damit zu:
\(
\Delta x^2 = \frac{\hbar}{2m\omega}
\)
Einsetzen von \(\Delta x^2\) in die Energiegleichung liefert:
\(
E_{\text{min}} = \frac{\hbar \omega}{4} + \frac{\hbar \omega}{4} = \frac{\hbar \omega}{2}
\)
2. Ortsunschärfe für \(^{133}\mathrm{Cs}\)-Atome
Gegeben ist \(m = 2.2 \cdot 10^{-25} \mathrm{kg}\), \(\omega / 2\pi = 120 \mathrm{kHz}\).
\(\omega = 2\pi \cdot 120 \mathrm{kHz}\) also \(\omega = 2\pi \cdot 120 \times 10^3 \mathrm{s}^{-1}\).
Der mittlere quadratische Abstand (Ortsunschärfe) ist:
\(
\Delta x^2 = \frac{\hbar}{2m\omega}
\)
Mit \(\hbar \approx 1.0545718 \times 10^{-34} \mathrm{m}^2 \mathrm{kg} / \mathrm{s}\),
\(
\Delta x^2 = \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{2 \times 2.2 \times 10^{-25} \times 2\pi \times 120 \times 10^3}
\)
Berechnung:
\(
\Delta x^2 \approx \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{8.69664 \times 10^{-21}}
\)
\(
\Delta x^2 \approx 1.212 \times 10^{-14} \mathrm{m}^2
\)
\(
\Delta x \approx 3.48 \times 10^{-8} \mathrm{m}
\)
Erkennung der Ortsunschärfe durch Lichtstreuung
Die Wellenlänge des Lichts, das zum Nachweis der Position verwendet wird, muss vergleichbar oder kleiner sein als die Ortsunschärfe (\(\Delta x\)), um eine Interaktion zu ermöglichen. Bei einer Ortsunschärfe von ca. \(3.48 \times 10^{-8} \) Metern (\(34.8 \) Nanometern) liegt diese im Bereich ultravioletten Lichts. Technisch ist es daher möglich, durch Lichtstreuung Informationen über die Ortsunschärfe zu erhalten, vorausgesetzt, man verwendet Licht mit einer passenden oder kürzeren Wellenlänge (z.B. UV- oder Röntgenlicht). Der Compton-Effekt spielt dabei in höherenergetischen Bereichen (z.B. Röntgen) eine Rolle, da er die Wechselwirkung von Photonen mit Elektronen beschreibt, was zu einer messbaren Änderung der Photonenenergie führt.
3. Mittlerer quadratischer Abstand nach der Expansion
Für den mittleren quadratischen Abstand nach einer Expansionszeit \(\tau\), unter Vernachlässigung der anfänglichen Ortsunschärfe und unter Berücksichtigung der Impulsunschärfe \(\Delta p\), verwenden wir:
\(
\Delta x_{\text{final}}^2 = \Delta x^2 + \left(\frac{\Delta p}{m}\tau\right)^2
\)
Da die anfängliche Ortsunschärfe vernachlässigt wird, konzentrieren wir uns auf den zweiten Term:
\(
\Delta x_{\text{final}} = \frac{\Delta p}{m}\tau
\)
Nutzt man, dass \(\Delta p^2 = \hbar m \omega / 2\), ergibt sich:
\(
\Delta x_{\text{final}} = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\tau
\)
Mit \(\omega = 2\pi \cdot 120 \times 10^3 \mathrm{s}^{-1}\) und \(\tau = 6 \times 10^{-3} \mathrm{s}\),
\(
\Delta x_{\text{final}} \approx \sqrt{\frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{2.2 \times 10^{-25} \cdot 2 \pi \cdot 120 \times 10^3}}(6 \times 10^{-3})
\)
\(
\Delta x_{\text{final}}\approx \sqrt{\frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{1.65472 \times 10^{-21}}}(6 \times 10^{-3})
\)
\(
\Delta x_{\text{final}} \approx \sqrt{6.3710 \times 10^{-14}}(6 \times 10^{-3})
\)
\(
\Delta x_{\text{final}} \approx 8.0 \times 10^{-6} \mathrm{m} = 8.0 \,\mu \mathrm{m}
\)
Die Expansion resultiert also in einem mittleren quadratischen Abstand der Atome von etwa \(8.0 \,\mu \mathrm{m}\) nach \(6 \,\mathrm{ms}\).
