Eindimensionaler harmonischer Oszillator

Question

Betrachten Sie einen eindimensionalen harmonischen Oszillator mit Masse m und Frequenz w. Sei

$$\psi_0(x)$$ die Wellenfunktion des Grundzustandes und $$\psi_1(x)$$ die des ersten angeregten Zustandes. Das System sei nun beschrieben durch folgende Wellenfunktion:

$$\Phi = \sqrt{\alpha}\psi_0 + \sqrt{a-\alpha}\psi_1$$

a) Berechnen Sie den Ortserwartungswert bezüglich Phi.

b) Für welches alpha nimmt der Erwartungswert aus a) ein Maximum an?

Answer 1

Hallo,

unter der Annahme, dass a und alpha reell sind:

$$ < \hat x >=< \Phi| \hat x | \Phi>=\sqrt{\frac{\hbar^2}{2m\omega}}< \Phi| \hat a^+ +\hat a | \Phi>\\=\sqrt{\frac{\hbar^2}{2m\omega}}< \sqrt{\alpha}\psi_0+\sqrt{a-\alpha}\psi_1| \hat a^+ +\hat a | \sqrt{\alpha}\psi_0+\sqrt{a-\alpha}\psi_1>\\=\sqrt{\frac{\hbar^2}{2m\omega}}< \sqrt{\alpha}\psi_0+\sqrt{a-\alpha}\psi_1 |\sqrt{a-\alpha}\psi_0+\sqrt{\alpha}\psi_1+\sqrt{a-\alpha}\sqrt{2}\psi_2 >\\=2\sqrt{\frac{\hbar^2}{2m\omega}}\sqrt{\alpha}\sqrt{a-\alpha}=2\sqrt{\frac{\hbar^2}{2m\omega}}\sqrt{-\alpha^2+\alpha a}\\\text{< x > ist maximal,wenn }\\-\alpha^2+\alpha a =max\\---> \alpha=a/2 $$

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