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Erwartungswert \( \langle z \rangle \) im 1D-Kasten:
Der Erwartungswert \( \langle z \rangle \) beschreibt die durchschnittliche Position eines Teilchens. In einem eindimensionalen Kastenpotenzial, das von \(0\) bis \(L\) reicht, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte eines Teilchens, sich an einer bestimmten Stelle zu befinden, symmetrisch um die Mitte des Kastens verteilt. Unabhängig von der spezifischen Form der Wellenfunktion (die von der Quantenzahl \(n\) abhängt) ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion immer symmetrisch um den Mittelpunkt \(L/2\). Daher ist der Erwartungswert der Position \( \langle z \rangle \) für ein Teilchen in einem 1D-Kasten immer \(L/2\), unabhängig von der Quantenzahl \(n\).
Änderung von \( \Delta z \) mit der Quantenzahl:
\( \Delta z \) bezeichnet die mittlere quadratische Abweichung (Standardabweichung) von \( \langle z \rangle \) und gibt an, wie weit die Positionen, in denen das Teilchen gefunden werden kann, im Durchschnitt vom Erwartungswert \( \langle z \rangle \) abweichen. In einem 1D-Kasten wird \( \Delta z \) von der Form der Wellenfunktion bestimmt, welche wiederum von der Quantenzahl \(n\) abhängt.
Mit steigender Quantenzahl \(n\) verändert sich die Form der Wellenfunktion: Es treten mehr Knoten auf, wo die Wahrscheinlichkeitsdichte null wird. Die Wellenfunktion ist an diesen Knotenpunkten unterbrochen, was bedeutet, dass das Teilchen in bestimmten Bereichen innerhalb des Kastens nicht gefunden werden kann. Diese zunehmende Anzahl von Knoten führt dazu, dass die Verteilung der Orte, an denen das Teilchen gefunden werden kann, breiter und an manchen Stellen schmaler wird, was insgesamt die mittlere quadratische Abweichung \( \Delta z \) beeinflusst.
In den niedrigen Quantenzuständen (niedriges \(n\)) ist \( \Delta z \) relativ groß, da die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen nahe der Mitte zu finden, höher ist und zu den Rändern hin abnimmt. Mit steigender Quantenzahl \(n\) verteilt sich die Wahrscheinlichkeit durch das Auftreten zusätzlicher Knoten gleichmäßiger über den Kasten, was die mittlere quadratische Abweichung zunächst erhöht. Es gibt aber keinen einfachen, einheitlichen Trend, wie \( \Delta z \) sich mit \(n\) verändert, ohne die spezifische mathematische Form der Wellenfunktionen und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu analysieren.
Jedoch ist die Annahme, dass \( \Delta z \) stets kleiner wird mit steigendem \(n\), nicht korrekt. Tatsächlich kann \( \Delta z \) mit zunehmender Quantenzahl sowohl zu- als auch abnehmen, abhängig davon, wie die zusätzlichen Knoten die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsdichte im Kasten verändern.
Zusammenfassend hängt der Erwartungswert \( \langle z \rangle \) nicht von der Quantenzahl ab und ist immer \(L/2\), während die mittlere quadratische Abweichung \( \Delta z \) von der Quantenzahl abhängig ist, aber ohne genauere Analyse der Wellenfunktion kann nicht einfach gesagt werden, ob sie größer, kleiner oder gleich bleibt.
