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Gesamtwellenfunktion
Die Wellenfunktion einer Kugelwelle kann als \( \Psi = A \frac{\exp[i(kr - \omega t + \Delta\phi)]}{r} \) ausgedrückt werden, wobei \( A \) die Amplitude, \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) die Wellenzahl, \( \lambda \) die Wellenlänge, \( \omega \) die Kreisfrequenz, \( r \) der Abstand zur Quelle, \( t \) die Zeit und \( \Delta\phi \) die Phasenverschiebung ist.
In unserem Fall haben wir drei Quellen ohne Phasenverschiebung (\( \Delta\phi = 0 \)) und mit derselben Frequenz; damit vereinfacht sich die Gleichung zu \( \Psi = A \frac{\exp[i(kr - \omega t)]}{r} \).
Die Gesamtwelle am Punkt \( {x1, y1, z1} = {5.5, 6.7, 0} \) ist die Summe der Wellen von allen drei Quellen:
- Der Abstand von der ersten Quelle (\( -x_0, 0, 0 \)) zum Punkt \( (x1, y1, z1) \) ist \( r_1 = \sqrt{(5.5 + 1)^2 + 6.7^2} \)
- Der Abstand von der zweiten Quelle (im Ursprung) zum Punkt \( (x1, y1, z1) \) ist \( r_2 = \sqrt{5.5^2 + 6.7^2} \)
- Der Abstand von der dritten Quelle (\( x_0, 0, 0 \)) zum Punkt \( (x1, y1, z1) \) ist \( r_3 = \sqrt{(5.5 - 1)^2 + 6.7^2} \)
Werte von Abständen
- \( r_1 = \sqrt{(6.5)^2 + 6.7^2} = \sqrt{42.25 + 44.89} = \sqrt{87.14} \approx 9.34 \) m
- \( r_2 = \sqrt{5.5^2 + 6.7^2} = \sqrt{30.25 + 44.89} = \sqrt{75.14} \approx 8.67 \) m
- \( r_3 = \sqrt{(4.5)^2 + 6.7^2} = \sqrt{20.25 + 44.89} = \sqrt{65.14} \approx 8.07 \) m
Gesamtwellenfunktion zur Zeit \( t = 0 \)
Einsetzen der Abstände in unsere Wellenfunktion für \( t = 0 \):
Die Wellenzahl \( k \) ist \( \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2} = \pi \) m\(^{-1}\), da \( \lambda = 2 \) m.
Für jede Quelle haben wir:
- Für die erste Quelle: \( \Psi_1 = \frac{1}{9.34}e^{i(\pi \cdot 9.34)} \)
- Für die zweite Quelle: \( \Psi_2 = \frac{1}{8.67}e^{i(\pi \cdot 8.67)} \)
- Für die dritte Quelle: \( \Psi_3 = \frac{1}{8.07}e^{i(\pi \cdot 8.07)} \)
Die Gesamtwellenfunktion bei \( t=0 \) ist die Summe dieser Einzelwellen: \( \Psi_{gesamt} = \Psi_1 + \Psi_2 + \Psi_3 \)
Berechnung und Vergleich
Wir berechnen den realen Teil von \( \Psi_{gesamt} \) (da wir uns für den physikalischen, messbaren Teil interessieren). Beachten Sie, dass \( \exp(ix) = \cos(x) + i \sin(x) \), und wir berücksichtigen nur den Teil mit \( \cos(x) \), da \( \sin(x) \) imaginär wird.
Der Wert der Wellenfunktion am Ort für \( t = 0 \) ist schwierig genau zu bestimmen ohne komplexe Zahlen vollständig zu berücksichtigen, aber wir wissen, dass sich die Amplituden und Phasen der Wellen aus den verschiedenen Quellen überlagern und interferieren werden.
Wenn nur die mittlere Quelle aktiv ist:
In diesem Fall ist die Wellenfunktion einfach \( \Psi_{mittel} = \frac{1}{8.67} e^{i(\pi \cdot 8.67)} \).
Der Unterschied zwischen den beiden Szenarien besteht darin, dass, wenn alle drei Quellen aktiv sind, die Überlagerung der Wellen zu Punkten konstruktiver und destruktiver Interferenz führen kann. Dies beeinflusst die Intensität und die Phase der Gesamtwellen am Beobachtungspunkt.
Interpretation:
Die Gesamtwellenfunktionen mit allen drei aktiven Quellen wird komplexere Interferenzmuster zeigen als die Situation mit nur einer Quelle. Punkte konstruktiver Interferenz würden eine höhere Amplitude aufweisen (als wenn nur eine Quelle aktiv ist), während Punkte destruktiver Interferenz eine niedrigere oder sogar Null-Amplitude haben könnten. Dies verdeutlicht, wie wichtig die räumliche Anordnung und die Phasenbeziehung zwischen Mehrfachquellen für das resultierende Wellenfeld sind.
