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Beweis des Satzes von Steiner
Um den Satz von Steiner zu beweisen, betrachten wir zuerst den Zusammenhang zwischen den Koordinaten im ursprünglichen System \( \mathbf{K} \) und den Koordinaten im verschobenen System \( \mathbf{K}' \). Die Verschiebung des Ursprungs wird durch den Vektor \( \mathbf{a} \) repräsentiert, so dass für einen Punkt \( \mathbf{x} \) im System \( \mathbf{K} \) und den entsprechenden Punkt \( \mathbf{x}' \) im System \( \mathbf{K}' \) gilt:
\(
\mathbf{x}' = \mathbf{x} + \mathbf{a}
\)
Der Trägheitstensor im System \( \mathbf{K}' \) kann basierend auf den neuen Koordinaten \( \mathbf{x}' \) ausgedrückt werden:
\(
J'_{\mu \nu} = \int d^{3}x' \, \rho'(\mathbf{x}') \left[\mathbf{x}'^{2} \delta_{\mu \nu} - x'_{\mu}x'_{\nu}\right]
\)
Die Dichtefunktion \( \rho'(\mathbf{x}') = \rho(\mathbf{x}) \), da die Massenverteilung unverändert bleibt und lediglich das Koordinatensystem verschoben wurde. Das Integral über die modifizierten Koordinaten führt auf:
\(
J'_{\mu \nu} = \int d^{3}x \, \rho(\mathbf{x}) \left[\left(\mathbf{x}+\mathbf{a}\right)^{2} \delta_{\mu \nu} - (x_{\mu}+a_{\mu})(x_{\nu}+a_{\nu})\right]
\)
Dies lässt sich umformen in:
\(
J'_{\mu \nu} = \int d^{3}x \, \rho(\mathbf{x}) \left[\mathbf{x}^{2} \delta_{\mu \nu} + 2x_{\mu}a_{\nu} + \mathbf{a}^{2}\delta_{\mu \nu} - x_{\mu}x_{\nu} - a_{\mu}x_{\nu} - a_{\nu}x_{\mu} - a_{\mu}a_{\nu}\right]
\)
Integrieren wir über die Massenverteilung, separieren die Terme, und berücksichtigen, dass im Schwerpunktssystem der Massenverteilung die mittleren Ortskoordinaten null sind (\( \int d^{3}x \, \rho(\mathbf{x})x_{\mu} = 0 \) für jedes \( \mu \)), erhalten wir:
\(
\begin{aligned}
J'_{\mu \nu} &= J_{\mu \nu} + M\mathbf{a}^{2}\delta_{\mu \nu} - M(a_{\mu}a_{\nu}) \\
&= J_{\mu \nu} + M\left[\mathbf{a}^{2} \delta_{\mu \nu} - a_{\mu}a_{\nu}\right]
\end{aligned}
\)
Dies ist genau die Formel des Satzes von Steiner, die besagt, dass der Trägheitstensor des Systems um einen konstanten Vektor verschoben \( \mathbf{J}' \) gleich dem ursprünglichen Trägheitstensor \( \mathbf{J} \) plus einem Zusatzterm ist, der von der Verschiebung \( \mathbf{a} \) und der Gesamtmasse \( M \) des Systems abhängt.
Zusammengefasst:
- Die erste Term \( J_{\mu \nu} \) repräsentiert den Trägheitstensor im Schwerpunktsystem.
- Der zweite Term \( M\mathbf{a}^{2}\delta_{\mu \nu} - M(a_{\mu}a_{\nu}) \) trägt der Verlagerung des Ursprungs Rechnung und hängt von der Gesamtmasse und der Verschiebung des Koordinatensystems ab.
Damit ist der Satz von Steiner bewiesen, der einen eleganten Weg bietet, den Trägheitstensor für ein System zu berechnen, dessen Drehachse nicht durch den Schwerpunkt verläuft.
