Beschleunigung im rotierenden Koordinatensysteme

Question

Aufgabe:

Beschleunigung im rotierenden Koordinatensystem

Es handelt sich um ein beschleunigtes Koordinatensystem und ich soll die Impulsgleichung transformieren und daraus den Beschleunigungsvektor im rotierenden System ableiten

Problem/Ansatz:

Bis auf die Navier-Stockes-Gleichung muss leider gestehen, nicht mal einen vernünftigen Ansatz zu finden, und auch mit der vorhandenen Literatur bin ich nicht schlauer geworden.

Hat hier jemand eine Idee, bzw. kann mir verständlich erklären wie ich vorzugehnen hab.

Danke

Answer 1

Um die Impulsgleichung in ein rotierendes Koordinatensystem zu transformieren, kann die Formel für die totale Ableitung von Vektoren verwendet werden:

d/dt A = d/dt' A + ω × A

wobei A ein beliebiger Vektor, t die Zeit im festen (inertialen) Koordinatensystem, t' die Zeit im rotierenden Koordinatensystem und ω die Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Koordinatensystems ist.

Um den Beschleunigungsvektor im rotierenden Koordinatensystem zu erhalten, muss die Impulsgleichung in das rotierende Koordinatensystem transformiert werden und dann nach der Beschleunigung aufgelöst werden. Die Impulsgleichung lautet:

p = d/dt p = F

wobei F die resultierende Kraft und p der Impuls des betrachteten Systems ist.

Die totale Ableitung des Impulsvektors ergibt:

d/dt p = d/dt' p + ω × p

Unter Annahme eines starren Körpers ist der Impuls im rotierenden Koordinatensystem konstant. Daher verschwindet die Ableitung des Impulsvektors nach der Zeit im rotierenden Koordinatensystem. Die Gleichung reduziert sich auf:

ω × p = F

Durch Umformung dieser Gleichung nach der Beschleunigung a erhält man:

a = (F - ω × (ω × r) - 2ω × v - d/dt ω × r) / m

wobei m die Masse des betrachteten Systems, r der Ortsvektor und v der Geschwindigkeitsvektor im rotierenden Koordinatensystem sind.

Diese Gleichung gibt den Beschleunigungsvektor im rotierenden Koordinatensystem an.