Beweis für =3 , εijkεijk =6 und εijkεmjk = 2δim

Question

Aufgabe:

Beweis für =3 , εijkεijk =6 und εijkεmjk = 2δim

Problem/Ansatz:

Hallo, Ich muss in meinem Physik Studium diese Identitäten des Levi-Civita-Tensors beweisen. Hierbei ist mein Problem, dass ich es eigentlich so verstanden habe, dass εijk und δim maximal 1 sein können. Somit verstehe ich nicht genau wie es sein kann, dass εijkεijk =6 ist, da ich dachte, dass dies somit auch nicht höher als 1 sein kann. Das gleiche Problem habe ich bei den anderen beiden Beweisen.

Schon einmal vielen Dank für die Hilfe

Comments

Es stimmt, was du sagst, aber in diesem Fall wird die Einsteinsche Summenkonvention angewendet. Das heißt \( \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}=\sum_i \sum_j \sum_k \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}\).

Die Verschiebung verstehe ich nicht. Nur, weil die Fragestellung in einem Physik-Studium auftaucht, ist sie doch trotzdem rein mathematischer Natur...

Answer 1

Aloha :)

Der total-antisymmetrische Einheitstensor 3-ter Stufe \(\varepsilon_{ijk}\) hat den Wert \((+1)\), wenn \(ijk\) zyklisch sind, und den Wert \((-1)\), wenn \(ijk\) anti-zyklisch sind. Andernfalls ist er Null:$$P_+=\{(1;2;3);(2;3;1);(3;1;2)\}\quad;\quad P_-=\{(3;2;1);(2;1;3);(1;3;2)\}$$Nach der Einstein'schen Summenkonvention wird über dopplet auftretende Indizes summiert:

$$\varepsilon_{ijk}\cdot\varepsilon_{ijk}=\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}\cdot\varepsilon_{ijk}=\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3(\varepsilon_{ijk})^2$$$$\phantom{\varepsilon_{ijk}\cdot\varepsilon_{ijk}}=\underbrace{(+1)^2}_{123}+\underbrace{(+1)^2}_{231}+\underbrace{(+1)^2}_{312}+\underbrace{(-1)^2}_{321}+\underbrace{(-1)^2}_{213}+\underbrace{(-1)^2}_{132}=6$$

Beim zweiten Produkt$$\varepsilon_{ijk}\cdot\varepsilon_{mjk}=\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}\cdot\varepsilon_{mjk}$$überlegen wir uns, dass alle 3 Indiezs verschieden sein müssen, damit der \(\varepsilon\)-Tensor einen von Null verschiedenen Beitrag zur Summe liefert. Es muss also \(j\ne k\) gelten. Für \(i\) bzw. \(m\) bleibt dann nur noch ein Indexwert übrig, der zudem gleich sein muss, d.h. \(i=m\). Wir können also die Summanden mit \(\delta_{im}\) multiplizieren, ohne den Wert der Summe zu ändern.$$\varepsilon_{ijk}\cdot\varepsilon_{mjk}=\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}\cdot\varepsilon_{mjk}\cdot\delta_{im}$$Da \(\delta_{im}\) nur genau dann \(=1\) ist, wenn \(i=m\) gilt (und sonst \(=0\)), können wir das \(m\) im zweiten \(\varepsilon\)-Tensor durch \(i\) ersetzen. Außerdem können wir \(\delta_{im}\) als Faktor vor die Summe ziehen, da die Indizes \(i\) und \(m\) keine Lauf-Indizes der Summe sind:$$\varepsilon_{ijk}\cdot\varepsilon_{mjk}=\delta_{im}\cdot\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}\cdot\varepsilon_{\pink ijk}=\delta_{im}\cdot\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\left(\varepsilon_{ijk}\right)^2$$Unter der Summe trifft während der Summation nun genau eine Index-Kombination aus \(P_+\) und eine Index-Kombination aus \(P_-\) auf:$$\varepsilon_{ijk}\cdot\varepsilon_{mjk}=\delta_{im}\cdot\left((+1)^2+(-1)^2\right)=2\cdot\delta_{im}$$

Comments

Hallo, danke für die ausführliche Antwort.

Da sie diese Frage so gut beantworten konnten, dachte ich es wäre ihnen möglich noch eine andere Frage zu diesem Thema zu beantworten:

Aufgabe: Beweis für ∇×(φa)=φ(∇×a)−a×∇φ mit dem Levi-Civita-Tensor (Epsilon-Tensor). Hierbei ist a ein dreidimensionales Vektolfeld und φ ist ein Skalar


Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich grundsätzlich nicht verstehe wie man mit dem Levi-Civita-Tensor rechnet. Also wenn man mir den Ansatz zeigt, dann kann ich es auch ausrechnen. Aber ich verstehe nicht genau was der Levi-Civita-Tensor bedeutet, demnach verstehe ich auch nicht Was man machen muss.

Vielen Dank für die Hilfe

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Den Levi-Civita-Tensor brauchst du eigentlich nie. Wir haben mit ihm im Physik-Studium die Rechenregeln für das Vektorprodut bewiesen. Die kannst du aber auch sicherer (im Sinne von weniger Fehler machen) beweisen, indem du das Vektorprodukt einfach ausrechnest:

$$1)\quad \vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=\vec b\cdot(\vec c\times\vec a)=\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)$$Das heißt, die Vektoren im Spatprodukt sind zyklisch verschiebbar.

$$2)\quad \vec a\times(\vec b\times\vec c)=\vec b\cdot(\vec a\cdot\vec c)-\vec c\cdot(\vec a\cdot\vec b)$$

Das haben wir die "Deo-Regel" genannt. Angelehnt an das Deo "bac", das man von links nach rechts und von rechts nach links "cab" sprüht. [Es gibt natürlich noch viele andere tolle Deos, aber mit denen kann man sich die Regel nicht so gut merken.]

$$3)\quad \vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a$$

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Ja aber in der Aufgabe steht speziell, dass man es mit dem Levi-Civita-Tensor beweisen muss. Daher denke ich auch, dass das in der Klausur so ähnlich drankommen wird. Allerdings verstehe ich wie gesagt nicht genau, Was das alles bedeutet. Also wenn sie die Aufgabe noch einmal mit dem Levi-Civita-Tensor und einer Erklärung dazu rechnen könnten, wäre ich ihnen sehr dankbar