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Massenträgheitsmoment um den Schwerpunkt
Zuerst berechnen wir das Massenträgheitsmoment um den Schwerpunkt (Js) des Rades. Da es sich um ein zylindrisches Objekt handelt, und unter der Annahme, dass das Rad eine homogene Massenverteilung hat, können wir die bekannte Formel für das Massenträgheitsmoment eines Zylinders verwenden. Die Formel für das Massenträgheitsmoment eines Vollzylinders bezüglich seiner Symmetrieachse lautet:
\( J_s = \frac{1}{2} m r^2 \)
wobei \( m = 1 \, \text{kg} \) die Masse des Rades und \( r \) der Radius ist. Da das Rad allerdings durch innere und äußere Durchmesser definiert ist, betrachten wir es eher als ein Kreisring. Für den Kreisring (Rohrzylinder) lautet die Formel:
\( J_s = \frac{1}{2} m (R^2 + r^2) \)
mit \( R \) als äußerem Radius (\(da / 2\)) und \( r \) als innerem Radius (\( di / 2 \)).
Die Durchmesser in Meter umrechnen:
- \( da = 0,190 \, \text{m} \)
- \( di = 0,098 \, \text{m} \)
Daher:
- \( R = da / 2 = 0,190 / 2 = 0,095 \, \text{m} \)
- \( r = di / 2 = 0,098 / 2 = 0,049 \, \text{m} \)
Einsetzen dieser Werte in die Formel:
\( J_s = \frac{1}{2} \times 1 \, \text{kg} \times (0,095^2 + 0,049^2) \)
\( J_s = \frac{1}{2} \times (0,009025 + 0,002401) \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \)
\( J_s = \frac{1}{2} \times 0,011426 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \)
\( J_s = 0,005713 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \)
Satz von Steiner
Nun nutzen wir den Satz von Steiner, um das äquivalente Massenträgheitsmoment \( J_p \) in Bezug auf die Achse am Punkt A zu bestimmen. Die Formel lautet:
\( J_p = J_s + m \cdot a^2 \)
wobei \( a = di / 2 \) der Abstand von der Drehachse am Punkt A zum Schwerpunkt des Rades ist. Wir haben \( a \) bereits als \( 0,049 \, \text{m} \) berechnet. Also:
\( J_p = 0,005713 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 + 1 \, \text{kg} \cdot (0,049 \, \text{m})^2 \)
\( J_p = 0,005713 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 + 0,002401 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \)
\( J_p = 0,008114 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \)
Reduzierte Pendellänge
Die reduzierte Pendellänge \( l \) lässt sich über die Formel:
\( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \)
umformen, wobei \( T_0 = 0,70 \, \text{s} \) die Periodendauer ist. Umstellen der Formel gibt uns:
\( l = \frac{T^2 \cdot g}{4\pi^2} \)
\( l = \frac{0.70^2 \cdot 9,81}{4\pi^2} \)
\( l = \frac{0.49 \cdot 9,81}{4\cdot 9,8696} \)
\( l = \frac{4,807}{39,4784} \, \text{m} \)
\( l = 0.12174 \, \text{m} \)
Also beträgt das Massenträgheitsmoment um den Schwerpunkt ca. \(0,005713 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\) und die reduzierte Pendellänge ca. \(0,12174 \, \text{m}\).
