Kommentar mit KI erzeugt
a) Wie groß ist die Güte des Schwingkreises?
Die Güte eines Schwingkreises, oft mit \(Q\) bezeichnet, wird über die Formel
\( Q = \frac{f_r}{B} \)
definiert, wobei \(f_r\) die Resonanzfrequenz und \(B\) die Bandbreite darstellen. Für diesen Schwingkreis, gegeben mit einer Resonanzfrequenz \(f_r = 10 \, \text{kHz}\) und einer Bandbreite \(B = 100 \, \text{Hz}\), berechnet man die Güte wie folgt:
\( Q = \frac{10\,000 \, \text{Hz}}{100 \, \text{Hz}} = 100. \)
b) Welche Werte sind für die Induktivität \(L\) und den Widerstand \(R\) vorzusehen?
Um die Werte für \(L\) und \(R\) zu bestimmen, werden die Formeln für die Resonanzfrequenz eines LC-Schwingkreises und für die Güte \(Q\) herangezogen.
Die Resonanzfrequenz eines Reihenschwingkreises wird mittels der Formel
\( f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \)
beschrieben. Um \(L\) zu berechnen, stellt man diese Formel um:
\( L = \frac{1}{(2\pi f_r)^2C}. \)
Mit den gegebenen Werten \(C = 0,1\,\mu\text{F} = 0,1 \times 10^{-6}\,\text{F}\) und \(f_r = 10\,000\,\text{Hz}\) erhalten wir:
\( L = \frac{1}{(2\pi \times 10\,000)^2 \times 0,1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{(6.2832 \times 10\,000)^2 \times 0,1 \times 10^{-6}}. \)
Das führt zu:
\( L = \frac{1}{39.4784 \times 10^6 \times 0,1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{3.94784} \, \text{H} \)
Hier gab es jedoch einen Rechenfehler. Die korrekte Berechnung von \(L\) sollte etwa \(2,533 \, \text{mH}\) ergeben, denn die richtige Rechnung unter Verwendung der gegebenen Werte und unter Korrektur des mathematischen Fehlers ergibt:
\( L = \frac{1}{(2 \pi \times 10^4)^2 \times 0,1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{(4 \pi^2 \times 10^8 \times 0,1 \times 10^{-6})} = \frac{1}{4 \pi^2 \times 10^2} \, \text{H} \approx 2,533 \times 10^{-3} \, \text{H} \).
Die Güte ist auch durch die Beziehung
\( Q = \frac{\omega_r L}{R} \)
definiert, wobei \(\omega_r = 2\pi f_r\). Die Umformung dieser Gleichung zur Berechnung von \(R\) liefert:
\( R = \frac{\omega_r L}{Q}. \)
Durch Einsetzen von \(\omega_r = 2\pi f_r\) sowie den korrigierten Werten von \(L\) und \(Q\), erhalten wir eine andere Berechnung für \(R\), die ursprünglich angegebene Berechnung ergibt einen Wert von etwa \(4,02 \, \Omega\), aber unter Berücksichtigung des Korrekturhinweises und der richtigen Werte für \(L\) und \(Q\), sollte \(R\) näher an \(1,59 \, \Omega\) liegen.
c) Wie groß ist die Spannung \(\underline{U}_{R}(t)\) über dem Widerstand bei der Resonanzfrequenz, wenn die Gesamtspannung \(\underline{U}_{0}(t)=5 \, \text{V} \cdot \cos (\omega \cdot t)\) beträgt?
Bei Resonanzfrequenz wird die Spannung über dem Widerstand gleich der Gesamtspannung, da der induktive und kapazitive Widerstand sich gegenseitig aufheben. Folglich ist
\(\underline{U}_{R}(t) = \underline{U}_{0}(t) = 5\,\text{V} \cdot \cos(\omega t)\).
Die Kreisfrequenz \(\omega\) bei der Resonanzfrequenz \(f_r\) ist \(\omega = 2\pi f_r\), also
\(\omega = 2\pi \times 10\,000 = 62.832 \times 10^3\, \text{rad/s}\).
Demzufolge lautet \(\underline{U}_{R}(t)\)
\( = 5\,\text{V} \cdot \cos(62.832 \times 10^3\, t)\).
