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Wie groß ist die Güte des Oszillators?
Die Güte \(Q\) eines Oszillators beschreibt das Verhältnis der gespeicherten Energie zur verlorenen Energie pro Schwingungszyklus und ist ein Maß für die Dämpfung des Systems. Sie ist durch \(Q = \frac{\omega_0}{2\Delta}\) definiert, wobei \(\omega_0\) die ungedämpfte Kreisfrequenz des Oszillators und \(\Delta\) die Dämpfungskonstante ist.
Der Ansatz zur Berechnung der Güte \(Q\) des Oszillators, gegeben durch \(Q = \frac{\omega_0}{2\Delta}\), ist korrekt. Allerdings fehlt uns noch die Information über die Dämpfungskonstante \(\Delta\), um \(Q\) berechnen zu können.
Die ungedämpfte Kreisfrequenz \(\omega_0\) ist gegeben durch:
\(
\omega_0 = 2\pi f_d = 2\pi \cdot 800\ \text{Hz} = 1600\pi\ \text{rad/s}
\)
Um \(\Delta\) und somit die Güte \(Q\) zu bestimmen, müssen wir zuerst die Dämpfungsrate aus der gegebenen Information ableiten, dass die Amplitude der Stimmgabel nach 17,0 s auf den zehnten Teil ihres Anfangswertes gefallen ist.
Die zeitliche Abnahme der Amplitude \(A\) einer gedämpften Schwingung kann durch die Formel \(A(t) = A_0 e^{-\Delta t}\) beschrieben werden, wobei \(A_0\) der Anfangsamplitudenwert ist.
Da nach 17,0 s die Amplitude auf den zehnten Teil gefallen ist, gilt:
\(
\frac{A}{A_0} = \frac{1}{10} = e^{-\Delta \cdot 17,0\ \text{s}}
\)
Löst man diese Gleichung nach \(\Delta\) auf, erhält man:
\(
\ln\left(\frac{1}{10}\right) = -\Delta \cdot 17,0\ \text{s}
\)
\(
\Delta = -\frac{\ln\left(\frac{1}{10}\right)}{17,0\ \text{s}} = \frac{\ln(10)}{17,0\ \text{s}}
\)
\(
\Delta \approx \frac{2,303}{17,0\ \text{s}} \approx 0,1355\ \text{s}^{-1}
\)
Nun, mit \(\Delta\) und \(\omega_0\), können wir \(Q\) berechnen:
\(
Q = \frac{\omega_0}{2\Delta} = \frac{1600\pi\ \text{rad/s}}{2 \cdot 0,1355\ \text{s}^{-1}} \approx \frac{1600\pi}{0,271} \approx \frac{5026,55}{0,271} \approx 18551,09
\)
Wie viele Schwingungen hat die Stimmgabel ausgeführt bis die Amplitude der Schwingung auf 10% des Anfangswerts gesunken ist?
Die Anzahl der vollständigen Schwingungen \(N\) ist gegeben durch die Zeit \(t\) multipliziert mit der Frequenz \(f_d\):
\(
N = t \cdot f_d = 17,0\ \text{s} \cdot 800\ \text{Hz} = 13600
\)
Zusammenfassung der Ergebnisse:
1. Die Güte \(Q\) des Oszillators beträgt ungefähr \(18551,09\).
2. Die Stimmgabel hat 13.600 Schwingungen ausgeführt, bis ihre Amplitude auf 10% des Anfangswerts gesunken ist.
