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a) Wie groß ist der spezifische Widerstand des Kristalls?
Um den spezifischen Widerstand \(\rho\) des dotierten Siliziumkristalls zu berechnen, können wir die Formel für den spezifischen Widerstand verwenden:
\(
\rho = \frac{1}{\sigma}
\)
Hierbei ist \(\sigma\) die elektrische Leitfähigkeit, die durch folgende Formel gegeben ist:
\(
\sigma = q \cdot (n \cdot \mu_n + p \cdot \mu_p)
\)
- \(q\) ist die Elementarladung (\(1.6 \times 10^{-19} \, \text{Coulomb}\)),
- \(n\) und \(p\) sind die Elektronen- bzw. Löcherkonzentrationen in \(\text{cm}^{-3}\),
- \(\mu_n\) und \(\mu_p\) sind die Beweglichkeiten der Elektronen bzw. Löcher.
Da Aluminium ein Akzeptor ist, erhöht seine Präsenz die Anzahl der Löcher im Silizium. Diese Dotierung macht das Silizium zu einem p-Typ Halbleiter, und die Konzentration der Löcher \(p\) wird etwa gleich der Konzentration der Aluminium-Atome sein, also \(p \approx 5 \times 10^{14} \, \text{cm}^{-3}\).
Die Elektronenbeweglichkeit \(\mu_n\) in Silizium ist etwa \(1350 \, \text{cm}^2/(\text{V}\cdot\text{s})\) und die Löcherbeweglichkeit \(\mu_p\) ist etwa \(480 \, \text{cm}^2/(\text{V}\cdot\text{s})\).
Da dies ein p-Typ Halbleiter ist und die Majoritätsträger Löcher sind, betrachten wir vor allem \(p\) und \(\mu_p\):
\(
\sigma = q \cdot p \cdot \mu_p = (1.6 \times 10^{-19}) \cdot (5 \times 10^{14}) \cdot 480
\)
\(
\sigma \approx 3.84 \times 10^{-4} \, \text{S/cm}
\)
Daraus folgt für den spezifischen Widerstand:
\(
\rho = \frac{1}{\sigma} \approx \frac{1}{3.84 \times 10^{-4}} \approx 2604 \, \text{Ohm}\cdot\text{cm}
\)
b) Wie hoch ist die Konzentrationen der Majoritäten?
Wie bereits erwähnt, entspricht die Konzentration der Majoritätsträger (Löcher, da es sich um p-Typ Halbleiter handelt) etwa der Dotierstoffkonzentration, die durch Aluminium eingebracht wurde:
\(
p \approx 5 \times 10^{14} \, \text{cm}^{-3}
\)
c) Wie hoch ist die Konzentrationen der Minoritäten?
Die Konzentration der Minoritätsträger (Elektronen in diesem Fall) kann durch das Massenwirkungsgesetz berechnet werden, das besagt:
\(
np = n_i^2
\)
Hier ist \(n_i\) die intrinsische Ladungsträgerkonzentration von Silizium, die typischerweise bei etwa \(1.5 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}\) liegt.
Da \(p = 5 \times 10^{14} \, \text{cm}^{-3}\), lösen wir die Gleichung nach \(n\):
\(
n = \frac{n_i^2}{p} = \frac{(1.5 \times 10^{10})^2}{5 \times 10^{14}}
\)
\(
n \approx \frac{2.25 \times 10^{20}}{5 \times 10^{14}} \approx 450 \, \text{cm}^{-3}
\)
Zusammenfassend:
- Der spezifische Widerstand des Kristalls beträgt etwa \(2604 \, \text{Ohm}\cdot\text{cm}\).
- Die Konzentration der Majoritätsträger (Löcher) beträgt etwa \(5 \times 10^{14} \, \text{cm}^{-3}\).
- Die Konzentration der Minoritätsträger (Elektronen) beträgt etwa \(450 \, \text{cm}^{-3}\).
