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Bestimmen der komplexen Zeiger
Um die komplexen Zeiger \(u\) und \(i\) zu bestimmen, müssen wir die gegebene Sinusform in eine komplexe Exponentialform umwandeln, die die mathematische Handhabung von Wechselgrößen vereinfacht. Dies erfolgt mit der Euler'schen Formel \(e^{j\theta} = \cos(\theta) + j \sin(\theta)\), wobei \(j\) die imaginäre Einheit ist. Die Sinusformen der Spannung und des Stroms können also wie folgt umgeschrieben werden:
1. Für die Spannung \(u(t) = u_0 \sin(\omega t + \phi_u)\), kann sie in komplexe Form umgewandelt werden als \(U = u_0 e^{j(\omega t + \phi_u)}\). Dabei ist \(U\) der komplexe Zeiger der Spannung.
2. Ähnlich für den Strom \(i(t) = i_0 \sin(\omega t + \phi_i)\), kann dieser in komplexe Form umgewandelt werden als \(I = i_0 e^{j(\omega t + \phi_i)}\). Dabei ist \(I\) der komplexe Zeiger des Stroms.
Bestimmen der Impedanz
Die Impedanz \(Z\) einer Schaltung ist definiert durch das Verhältnis von Spannung zu Strom, \(Z = \frac{U}{I}\).
Mit den oben bestimmten komplexen Zeigern:
\(
Z = \frac{U}{I} = \frac{u_0 e^{j(\omega t + \phi_u)}}{i_0 e^{j(\omega t + \phi_i)}} = \frac{u_0}{i_0} \cdot e^{j(\phi_u - \phi_i)}
\)
Da \(\frac{u_0}{i_0}\) der Betrag der Impedanz und \((\phi_u - \phi_i)\) der Phasenwinkel der Impedanz ist, können wir die Impedanz nun als
\(
Z = |Z| e^{j\phi_Z}
\)
mit \(|Z| = \frac{u_0}{i_0}\) und \(\phi_Z = \phi_u - \phi_i\), darstellen.
Algebraische Form der Impedanz
Um \(Z\) in algebraischer Form darzustellen, nutzen wir wieder die Euler'sche Formel:
\(
Z = |Z| (\cos(\phi_Z) + j\sin(\phi_Z))
\)
Impedanz bei ohmschem Widerstand
Wenn wir ausschließlich einen ohmschen Widerstand in der Schaltung haben, ist die Impedanz reell. Das heißt, dass der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung \(0\) ist (\(\phi_Z = 0\)), was impliziert, dass \(u(t)\) und \(i(t)\) phasengleich schwingen. In anderen Worten, \(\phi_u = \phi_i\), daher ist die Spannung und der Strom nicht durch induktive oder kapazitative Elemente in der Phase verschoben. In diesem Fall vereinfacht sich die Impedanz zu einem reinen Widerstandswert (\(Z = R\)) ohne imaginären Teil.
