Antwort mit KI erzeugt
Gaußsche Fehlerfortpflanzung, Mittelwert, Messunsicherheit, Schallausbreitung
Bei der Bestimmung der Schallgeschwindigkeit \(c\) durch Messung von Strecke \(s\) und Zeit \(t\), sowie der anschließenden Fehlerfortpflanzung zur Ermittlung der Unsicherheit in \(c\), ist es wichtig, die Prozesse der Mittelwertbildung und der Berechnung von Unsicherheiten korrekt durchzuführen.
Bestimmung von \(c\):
Die Schallgeschwindigkeit \(c\) berechnet sich aus der Formel \(c = \frac{s}{t}\). Wenn für jede der 5 Strecken der Mittelwert von \(t\) berechnet wird, erhält man zu jeder Strecke \(s\) einen korrespondierenden Mittelwert für \(t\).
Fehlerfortpflanzung nach Gauß:
Die Gaußsche Fehlerfortpflanzung für eine Größe, die von mehreren Messgrößen abhängt, deren Messunsicherheiten bekannt sind, kann allgemein wie folgt ausgedrückt werden:
\(
u(f) = \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}u(x)\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}u(y)\right)^2 + ...}
\)
Für unsere Funktion \(c = \frac{s}{t}\), wo \(u(s)\) und \(u(t)\) die Messunsicherheiten von \(s\) und \(t\) darstellen, simplifiziert sich die Formel zu:
\(
u(c) = c \cdot \sqrt{\left(\frac{u(s)}{s}\right)^2 + \left(\frac{u(t)}{t}\right)^2}
\)
Daraus folgt für den relativen Fehler \(u(c)/c\):
\(
\frac{u(c)}{c} = \sqrt{\left(\frac{u(s)}{s}\right)^2 + \left(\frac{u(t)}{t}\right)^2}
\)
Bestimmung der Werte für die Fehlerfortpflanzung:
Du hast für 5 verschiedene Strecken \(s\) jeweils Mittelwerte für \(t\) und die Unsicherheit \(u(t)\) bestimmt. \(u(s)\) ist für jede Strecke als 0,1 m gegeben. Die Frage, die sich nun stellt, ist, wie man diese Werte für eine zusammenfassende Unsicherheit der Schallgeschwindigkeit \(c\) nutzt.
Für die Gaußsche Fehlerfortpflanzung benötigst Du repräsentative Werte für \(s\), \(t\), \(u(s)\) und \(u(t)\). Da \(u(s)\) für alle Messungen gleich ist, bleibt dieser Wert konstant.
Umgang mit den 5 Messreihen:
Eine Möglichkeit, einen einzigen Wert für den relativen Fehler \(u(c)/c\) zu erhalten, besteht darin, die Fehlerfortpflanzung für jede Messreihe einzeln durchzuführen und dann aus den 5 relativen Fehlern von \(u(c)/c\) einen Mittelwert zu bilden. Jedoch spiegelt dieser Mittelwert nur dann ein sinnvolles Maß der Unsicherheit wider, wenn die Bedingungen für alle Messreihen gleich waren und die relative Unsicherheit für alle Messreihen ähnlich ist.
Da \(c\) aus dem Gradienten einer Geraden in einem \(s\) gegen \(t\) Diagramm bestimmt wird, kann es sinnvoller sein, stattdessen die Unsicherheit in der Bestimmung dieser Steigung zu betrachten. Diese Unsicherheit kann direkt aus der Regressionsanalyse abgeleitet werden und würde die Unsicherheiten in \(s\) und \(t\) in einer Weise berücksichtigen, die den tatsächlichen Einfluss dieser Unsicherheiten auf das Endergebnis widerspiegelt.
In der Praxis wird oft eine lineare Regression unter Einbeziehung der Unsicherheiten durchgeführt, um sowohl die beste Schätzung für \(c\) als auch die Unsicherheit in dieser Schätzung zu erhalten. Dieser Ansatz kann insbesondere in Programmen zur wissenschaftlichen Datenanalyse wie Python (mit numpy/scipy) oder MATLAB implementiert werden, die Funktionen zur Durchführung gewichteter linearer Regressionen bieten, bei denen Fehler in \(s\) und \(t\) berücksichtigt werden können.
Zusammenfassung:
Für eine grundlegende Analyse könntest du entweder für jede Messreihe den relativen Fehler berechnen und mitteln, oder du verwendest statistische Methoden (wie die gewichtete lineare Regression), um direkt eine fundierte Schätzung für \(c\) und dessen Unsicherheit basierend auf allen Datenpunkten zu erhalten.
