Antwort mit KI erzeugt
Wahrscheinlichkeitsstromdichte und Schrödingergleichung
Teil a) Um die Wahrscheinlichkeitsdichte \( \vec{j} \) durch \( \rho \) und \( \varphi \) auszudrücken, setzen wir die gegebene Wellenfunktion \( \psi(\vec{r}, t)=\sqrt{\rho(\vec{r}, t)} e^{i \varphi(\vec{r}, t)} \) und deren komplex konjugierten Wert \( \bar{\psi} = \sqrt{\rho(\vec{r}, t)} e^{-i \varphi(\vec{r}, t)} \) in die gegebene Definition von \( \vec{j} \) ein.
\(
\vec{j} = \frac{\hbar}{2mi} \left( \sqrt{\rho} e^{-i\varphi} \vec{\nabla}(\sqrt{\rho} e^{i\varphi}) - \sqrt{\rho} e^{i\varphi} \vec{\nabla}(\sqrt{\rho} e^{-i\varphi}) \right)
\)
Durch Berechnung der Gradienten erhalten wir:
\(
\vec{\nabla}(\sqrt{\rho} e^{i\varphi}) = e^{i\varphi} \vec{\nabla}(\sqrt{\rho}) + i\sqrt{\rho} e^{i\varphi} \vec{\nabla}\varphi
\)
und
\(
\vec{\nabla}(\sqrt{\rho} e^{-i\varphi}) = e^{-i\varphi} \vec{\nabla}(\sqrt{\rho}) - i\sqrt{\rho} e^{-i\varphi} \vec{\nabla}\varphi.
\)
Einsetzen dieser Gradienten in die Definition von \( \vec{j} \) ergibt mit etwas Vereinfachung:
\(
\vec{j} = \frac{\hbar}{m} \rho(\vec{r}, t) \vec{\nabla} \varphi(\vec{r}, t).
\)
Teil b) Wenn die Wellenfunktion mit einem Phasenfaktor \( e^{i\alpha(\vec{r}, t)} \) multipliziert wird, ändert das den Betrag der Wellenfunktion \( |\psi| \) nicht, da der Betrag des Phasenfaktors 1 ist. Folglich bleibt \( \rho = |\psi|^2 \) unverändert. Jedoch ändert sich \( \varphi \) zu \( \varphi + \alpha \), was zu einer Änderung in \( \vec{j} \) führt:
\(
\vec{j}_{neu} = \frac{\hbar}{m} \rho(\vec{r}, t) \vec{\nabla} (\varphi(\vec{r}, t) + \alpha(\vec{r}, t)).
\)
Dies zeigt, dass \( \rho \) unverändert bleibt, während \( \vec{j} \) durch den zusätzlichen Gradienten von \( \alpha \) beeinflusst wird.
Teil c) Für \( e^{i \alpha(\vec{r}, t)} \psi(\vec{r}, t) \) um ebenfalls eine Lösung der Schrödingergleichung sein zu können, muss \( \alpha(\vec{r}, t) \) solche Bedingungen erfüllen, dass die Multiplikation mit diesem Phasenfaktor die Form der Schrödingergleichung nicht verändert. Praktisch bedeutet dies, dass \( \alpha \) selbst keine explizite Zeitabhängigkeit einführen darf, die nicht bereits durch die Schrödingergleichung abgedeckt wird, da die Gleichung linear und homogen in \( \psi \) ist. In der Praxis ist dies oft erfüllt, wenn \( \alpha \) eine Konstante oder eine Funktion von \( \vec{r} \) allein ist.
Teil d) Wenn \( \psi \) als \( \psi(\vec{r}, t) = T(t) \phi(\vec{r}) \) geschrieben werden kann und sowohl \( \rho \) als auch \( \vec{j} \) zeitunabhängig sein sollen, bedeutet dies, dass die Zeitabhängigkeit von \( \psi \) vollständig durch \( T(t) \) ausgedrückt wird. Da \( \rho = |\psi|^2 = |T(t)|^2|\phi(\vec{r})|^2 \) sein muss und \( \rho \) zeitunabhängig ist, muss \( |T(t)|^2 \) konstant sein. Dies impliziert, dass \( T(t) \) die Form \( T(t) = e^{-i\frac{E}{\hbar}t} \) haben muss, wobei \( E \) eine Konstante ist. Diese Form von \( T(t) \) gewährleistet, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte \( \rho \) und die Wahrscheinlichkeitsstromdichte \( \vec{j} \) zeitunabhängig sind, was der Bedingung für eine stationäre Wellenfunktion entspricht.
