Zeigen, dass die Wellenfunktion die Schrödingergleichung erfüllt ist

Question

Aufgabe:

Zeige, dass
\( \Psi(x, t)=\Psi_{0} \cdot(\cos (\varphi)+i \cdot \sin (\varphi)) \)
mit
\( \varphi=2 \cdot \pi \cdot\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right) \)
die Schrödingergleichung
\( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x, t)=-\frac{\hbar}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi(x, t) \)
erfüllt.

Ansatz/Problem:

i ist dabei die komplexe Einheit. Das Problem ist ja das auf einer Seite die Masse m des Teilchens auftritt. Das bekommt man doch gar nicht weg. Weitere Gleichungen oder Erklärungen haben wir leider nicht bekommen. Beim schauen im Internet habe ich dann auch festgestellt, dass die Schrödingergleichung meist etwas anders formuliert wird. So sollte auf der rechten Seite wohl h^2 stehen. Das macht auch sinn da bei Ableiten (2 pi)^2 als Faktor dazu kommt. Aber trotzdem ist das m immer enthalten.

Comments

" Aber trotzdem ist das m immer enthalten. "

Ist es nicht möglich, dass du die Masse irgendwann mal durch Energie ausdrücken kannst?

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Ich denke mal es handelt sich um die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen ohne Potential, da kann man dann die

de Broglie-Wellenlänge verwenden : p=m*v=h/p

Die Schrödingergleichung sollte h quer Quadrat enthalten, siehe z.B hier :

https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/nawi.inst.251/Didactics/quantenchemie/html/SchroedF.html

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Ist die Schrödingergleichung nicht für die Katz ?

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Viele ähnliche Fragen bei https://www.mathelounge.de/163632/zeigen-wellenfunktion-losungen-allgemeinen-wellengleichung Sollten die migriert werden oder deine Frage zurück in die Mathelounge?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung und Lösung

Um zu zeigen, dass die gegebene Wellenfunktion die Schrödingergleichung erfüllt, benötigen wir etwas mehr Kontext über die spezifische Form der Schrödingergleichung, die erfüllt werden soll. Typischerweise gibt es zwei Hauptformen: die zeitabhängige und die zeitunabhängige Schrödingergleichung. Ich gehe davon aus, dass die Aufgabe sich auf eine dieser beiden Formen bezieht, möglicherweise in einem spezifischen Kontext wie einem freien Teilchen oder einem Teilchen in einem Potential.

Die allgemeine Form der zeitunabhängigen Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential \(V(x)\) ist:
\( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x) \)

Hierbei ist \(\hbar\) das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, \(m\) die Masse des Teilchens, \(\psi(x)\) die Wellenfunktion des Teilchens, \(V(x)\) das Potential, in dem sich das Teilchen befindet, und \(E\) die Energie des Zustands.

Um zu überprüfen, ob eine gegebene Wellenfunktion eine Lösung der Schrödingergleichung ist, müssen wir die vorgegebene Wellenfunktion in die Schrödingergleichung einsetzen und zeigen, dass beide Seiten der Gleichung identisch sind.

Da das genaue Aussehen der Wellenfunktion und der Schrödingergleichung aus deiner Frage nicht hervorgeht, kann ich keine spezifische Lösung anbieten. Jedoch kann ich einen allgemeinen Lösungsansatz bereitstellen:

1. Das Einsetzen der Wellenfunktion: Du setzt deine vorgegebene Wellenfunktion \(\psi(x)\) in die Schrödingergleichung ein. Dies beinhaltet das Berechnen der zweiten Ableitung der Wellenfunktion nach \(x\), \(d^2 \psi(x)/dx^2\).

2. Vereinfachen: Danach vereinfachst du die erhaltene Gleichung durch Ausrechnen und Kürzen, soweit es geht.

3. Vergleich der Seiten: Schließlich vergleichst du die linke Seite der Schrödingergleichung (den Operator angewendet auf die Wellenfunktion) mit der rechten Seite (das Potentialterm plus die Energie mal die Wellenfunktion). Wenn die Gleichung für alle \(x\) erfüllt ist, dann ist die vorgegebene Wellenfunktion eine tatsächliche Lösung der Schrödingergleichung.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Schrödingergleichung die physikalischen Eigenschaften eines Quantensystems widerspiegelt. Die Masse \(m\) des Teilchens wird in der Regel nicht "wegbekommen", sondern ist ein natürlicher Teil der Gleichung, der die Dynamik des Teilchens beeinflusst.

Falls du Schwierigkeiten hast, die Berechnungen durchzuführen oder spezifische Werte gegeben sind, wäre eine präzisere Angabe der Wellenfunktion und der Schrödingergleichung notwendig. In jedem Fall hoffe ich, dass diese Erklärungen hilfreich sind, um einen Ansatzpunkt für deine Aufgabe zu finden.