Folgen und Widerstände bei Vierpolen in Kette berechnen. R1=2R, R_n+1=(R*R_n)/(R+R_) + Rn

Question

Aufgabe:

Schaltet man n aus zwei gleichen Widerständen R bestehende Vierpole in Kette, so ergibt sich als Eingangswiderstand dieser Schaltung der Wert:

\( R_{I}=2 R, \quad R_{n+1}=\frac{R^{*} R_{n}}{R+R_{n}}+R \) für \( n \in N^{*} \)

Berechnen Sie daraus die Widerstände R2, R3 und R4 (der entsprechende Ausdruck soll nur von R abhängen)

Comments

Als R2 hätte ich 1,6667R?

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Das ist richtig. Du solltest das aber besser mit Brüchen lösen (siehe meine Antwort), die sind zum Einen genauer und zum Anderen entdeckt man dabei (vielleicht) einen interessanten Zusammenhang ...

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Die Aufgabe habe ich nun gelöst. Der  Text hat mich nur durcheinander gebracht. Welchen Zusammenhang meinst du?

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Den mit der Fibonacci-Folge.

Answer 1

Einfach für n die Werte 2, 3, 4 einsetzen:

 

R₂ = ( ( R * R₁ ) / ( R + R ₁ ) ) + R

Mit R₁ = 2 R ergibt sich daraus:

R₂ = ( ( R * 2 R ) / ( R + 2 R) ) + R

= 2 R ² / ( 3 R ) + R

= ( 2 R / 3 ) + R

= ( 5 / 3 ) R

 

R₃ = ( ( R * R₂ ) / ( R + R₂ ) ) + R

Mit R2 = ( 5 / 3 ) R ergibt sich daraus

R₃ = ( ( R * ( 5 / 3 ) R ) / ( R + ( 5 / 3 ) R ) ) + R

= ( ( 5 / 3 ) R ² / ( ( 8 / 3 ) R ) ) + R

= ( ( 5 / 3 ) R / ( 8 / 3 ) ) + R

= ( 5 / 8 ) R + R

= ( 13 / 8 ) R

 

R₄ = ( ( R * R₃ ) / ( R + R₃ ) ) + R

Mit R₃ = ( 13 / 8 ) R ergibt sich daraus:

R₄ = ( ( R * ( 13 / 8 ) R ) / ( R + ( 13 / 8 ) R ) ) + R

= ( ( 13 / 8 ) R ² / ( ( 21 / 8 ) R ) ) + R

= ( ( 13 / 8 ) R / ( 21 / 8 ) ) + R

= ( 13 / 21 ) R + R

= ( 34 / 21 ) R

 

Anmerkung: Wenn man die Fibonacci-Folge F_n kennt, dann sieht man, dass gilt:

R_n = ( F_2n / F_2n-1 ) * R