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Aufgabe:

Schaltet man n aus zwei gleichen Widerständen R bestehende Vierpole in Kette, so ergibt sich als Eingangswiderstand dieser Schaltung der Wert:

\( R_{I}=2 R, \quad R_{n+1}=\frac{R^{*} R_{n}}{R+R_{n}}+R \) für \( n \in N^{*} \)

Berechnen Sie daraus die Widerstände R2, R3 und R4 (der entsprechende Ausdruck soll nur von R abhängen)

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Als R2 hätte ich 1,6667R?
Das ist richtig. Du solltest das aber besser mit Brüchen lösen (siehe meine Antwort), die sind zum Einen genauer und zum Anderen entdeckt man dabei (vielleicht) einen interessanten Zusammenhang ...
Die Aufgabe habe ich nun gelöst. Der  Text hat mich nur durcheinander gebracht. Welchen Zusammenhang meinst du?
Den mit der Fibonacci-Folge.

1 Antwort

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Einfach für n die Werte 2, 3, 4 einsetzen:

 

R2 = ( ( R * R1 ) / ( R + R 1 ) ) + R

Mit R1 = 2 R ergibt sich daraus:

R2 = ( ( R * 2 R ) / ( R + 2 R) ) + R

= 2 R 2 / ( 3 R ) + R

= ( 2 R / 3 ) + R

= ( 5 / 3 ) R

 

R3 = ( ( R * R2 ) / ( R + R2 ) ) + R

Mit R2 = ( 5 / 3 ) R ergibt sich daraus

R3 = ( ( R * ( 5 / 3 ) R ) / ( R + ( 5 / 3 ) R ) ) + R

= ( ( 5 / 3 ) R 2 / ( ( 8 / 3 ) R ) ) + R

= ( ( 5 / 3 ) R / ( 8 / 3 ) ) + R

= ( 5 / 8 ) R + R

= ( 13 / 8 ) R

 

R4 = ( ( R * R3 ) / ( R + R3 ) ) + R

Mit R3 = ( 13 / 8 ) R ergibt sich daraus:

R4 = ( ( R * ( 13 / 8 ) R ) / ( R + ( 13 / 8 ) R ) ) + R

= ( ( 13 / 8 ) R 2 / ( ( 21 / 8 ) R ) ) + R

= ( ( 13 / 8 ) R / ( 21 / 8 ) ) + R

= ( 13 / 21 ) R + R

= ( 34 / 21 ) R

 

Anmerkung: Wenn man die Fibonacci-Folge Fn kennt, dann sieht man, dass gilt:

Rn = ( F2n / F2n-1 ) * R

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