Antwort mit KI erzeugt
Frage 1: Skizzieren der Schaltung
Die Überprüfung deiner Skizze kann ich nicht direkt leisten, da ich kein Bild sehe. Jedoch lässt sich sagen, dass eine Schaltung zur Realisierung des Filters im allgemeinen durch Verwendung von Verzögerungselementen (dargestellt durch \(e^{-j\omega}\)), Multiplizierern für die Koeffizienten und Summierern für die Addition der Signale dargestellt wird. Auf Basis der gegebenen Übertragungsfunktion \(H\left(e^{j \omega}\right)=\frac{1+e^{-j \omega}}{1-\frac{1}{2} e^{-j \omega}}\) würde eine passende Schaltung mindestens ein Verzögerungselement \(e^{-j \omega}\) und möglicherweise Rückkopplungselemente enthalten, die den Nenner der Übertragungsfunktion umsetzen, sowie eine Vorschaltung für den Zähler der Übertragungsfunktion.
Frage 2: Impulsantwort aus der Übertragungsfunktion
Die Musterlösung zu Teilaufgabe (b) zeigt einen direkten Weg, um von einer Übertragungsfunktion \(H\left(e^{j \omega}\right)\) im Frequenzbereich zur Impulsantwort \(h[n]\) im Zeitbereich zu gelangen. Dies erfolgt durch eine Reihe von Schritten:
1.
Umformung der Übertragungsfunktion: Die Übertragungsfunktion wird in eine Form gebracht, die eine direkte Rücktransformation in den Zeitbereich erleichtert. Für die gegebene Übertragungsfunktion \(H\left(e^{j \omega}\right)=\frac{1+e^{-j \omega}}{1-\frac{1}{2} e^{-j \omega}}\) wird der Nenner in eine geometrische Reihe umgeformt, was die Faltung im Zeitbereich entspricht.
2.
Anwendung der geometrischen Reihe: Die Umformung des Nenners in eine Summe \(1+\frac{1}{2} e^{-j \omega}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2} e^{-j 2 \omega}+\ldots\) macht den Ausdruck für die direkte Rücktransformation in den Zeitbereich zugänglich. Dieser Schritt nutzt die Tatsache, dass die Impulsantwort eines Systems im Zeitbereich dem inversen Fourier-Transformierten der Übertragungsfunktion entspricht.
3.
Bildung der Impulsantwort im Zeitbereich: Nachdem der Ausdruck im Frequenzbereich entsprechend umgeformt wurde, kann nun direkt die Impulsantwort \(h[n]\) im Zeitbereich abgelesen werden, durch Identifizierung des Koeffizienten von \(e^{-j \omega n}\). Für die gegebene Übertragungsfunktion ergibt sich:
\(
h[n]=\delta[n]+\frac{3}{2^{n}} \epsilon[n-1],
\)
wobei \(\delta[n]\) der Dirac-Impuls und \(\epsilon[n-1]\) die Sprungfunktion (Einheitssprung), verschoben um 1, darstellt.
Zusammenfassend, der allgemeine Ansatz von einer Übertragungsfunktion zur Impulsantwort besteht darin, die Übertragungsfunktion so umzuformen, dass sie direkt rücktransformiert werden kann. Dies beinhaltet die Umwandlung des Nenners (und gegebenenfalls des Zählers) in eine Summendarstellung, die leicht in eine Impulsantwort umgewandelt werden kann durch die Identifizierung der Koeffizienten, die den Zeitverzögerungen entsprechen.
