Die Sterne drehen sich um den gemeinsamen Schwerpunkt. Sei \(r_1\) der Abstand des ersten und \(r_2\) der Abstand des zweiten Sterns vom Schwerpunkt, so gilt \(m_1 \cdot r_1 = m_2 \cdot r_2\) bzw. da \(r_1+r_2=e\) der gemeinsame Abstand ist:
$$r_2 = \frac{e \cdot m_1}{m_1+m_2} = \frac{4,2 \cdot 10^{12}\text{m} \cdot 3,1\cdot 10^{29}\text{kg}}{3,1\cdot 10^{29}\text{kg} + 1,9 \cdot 10^{32}\text{kg}} \approx 6,8415 \cdot 10^{9}\text{m}$$
D.h. die Drehachse liegt sehr viel dichter bei \(m_2\) als an \(m_1\).
Der Rest geht wie bei 'Masse berechnen'. Setze die Zentrifugalkraft \(m \omega^2 r\) mit der Gravitationskraft gleich.
$$m_1 \cdot \omega^2 \cdot r_1 = \frac{m_1 \cdot m_2}{e^2} G$$
$$\Rightarrow \omega = \frac{1}{e} \sqrt{ \frac{m_2}{r_1} G}$$
Zusammen mit \(r_1=\frac{e \cdot m_2}{m_1+m_2}\) erhält man
$$\begin{aligned} \omega &= \frac{1}{e} \sqrt{ \frac{m_1+m_2}{e} G } \\&= \frac{1}{4,2 \cdot 10^{12}\text{m}} \sqrt{ \frac{3,1\cdot 10^{29}\text{kg} + 1,9 \cdot 10^{32}\text{kg}}{4,2 \cdot 10^{12}\text{m}} 6,67408 \cdot 10^{-11} \frac{\text{m}^3}{\text{kg} \cdot \text{s}^2} } \\ &\approx 1,309\cdot 10^{-8} \frac{1}{\text{s} } \end{aligned} $$Und da die Umlaufzeit \(T=2\pi / \omega\) ist
$$T=\frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1,309\cdot 10^{-8} \frac{1}{\text{s}}} \approx 4,799\cdot 10^{8} \text{s} \approx 15,2\text{a}$$
Edit: Endergebnis korrigiert: \(1,52\text{a} \rightarrow 15,2\text{a}\)
