Aufstieg eines Stratosphärenballons

Question

Mit der studentischen Forschungsballonmission BEXUS werden Nutzlasten von etwa \( m_{\mathrm{NL}}=70 \mathrm{kg} \) in Form
von Messgeräten und Versuchsaufbauten in eine Missionshöhe von \( h=25 \mathrm{km} \) befordert, wo dann Versuchs-
zeiten in der Stratosphäre von bis zu fünf Stunden möglich sind. Die Masse des verwendeten Ballons (Hülle,
Struktur, Elektronik, Landeschirm) beträgt etwa \( m_{\mathrm{B}}=170 \mathrm{kg} . \) Die unten ständig offene Hulle des verwende-
ten Gleichdruckballons wird am Startplatz mit Helium betankt, so dass diese zunächst schlaff gefallt ist und
sich während des Aufstieges ungehindert entfalten kann. Bitte lesen Sie die Aufgabe zunächst ganz durch und
beachten Sie die gegebenen Größen und Hinweise am Ende des Aufgabenblattes.

a) Für den Missionstag ist am Startplatz auf Meeresniveau \( (z=0 \mathrm{m}) \) kühles, trockenes Wetter bei \( p_{0}=1 \) bar, \( \rho_{0}=1 \mathrm{kg} \mathrm{m}^{-3} \) und \( t_{0}=6.85^{\circ} \mathrm{C} \) vorhergesagt. Berechnen Sie die Skalenhöhe \( H \) für die aktuellen Witterungsbedingungen, welche in die relevanten Atmosphärenmodelle eingeht.

b) Wie groß sind der Druck \( p_{h} \) und die Temperatur \( T_{h} \) in der Missionshohe \( h \) unter der Annahme einer
isentropen Schichtung der Atmosphäre? Runden Sie die berechneten Werte auf die erste signifikante
Stelle und tragen diese in die vorhandenen Diagramme in Abb. 2  ein. Bewerten Sie das isentrope
und das isotherme Modell für das Einsatzgebiet Stratosphäre an Hand der internationalen Standard
Atmosphäre (ISA) in wenigen, qualitativen Stichworten.

c) Welche Menge Helium \( \left(m_{H e} \text { in } \mathrm{kg}\right) \) muss der Tankwagen am Startplatz mindestens mit sich führen, \right.
damit der Ballon unter Vernachlầssigung aller Verluste und Störungen mit der Nutzlast \( m_{\mathrm{NL}} \) überhaupt
vom Boden abheben kann?

d) Welche Fläche an Ballonseide \( \left(A_{B} \text { in } \mathrm{m}^{2}\right) \) wird zur Fertigung der Hülle mindestens benötigt (ohne Nahtzugaben etc.), damit der Ballon inklusive Nutzlast \( m_{\mathrm{NL}} \)  die Missionshöhe \( h \) erreichen kann? Gehen Sie dabei von einer isothermen Atmosphärenschichtung aus und lesen sie die dafür nötigen Größen

Abbildung 2: Atmosphärenmodelle: isotherm, isentrop, und internationale Standardatmosphäre (ISA). Errechnete Werte aus Aufgabenteil b) sollen auf die erste gultige Stelle gerundet und in dieses Diagramme eingetragen werden. Zeichnen Sie also 2 einzelne Datenpunkte ein und nehmen Sie dann einen qualitativen Vergleich in knappen Stichworten vor:
gegebenenfalls aus dem vorhandenen Diagramm in Abb. ?? ab (auf die erste signifikante Stelle genau).
Vereinfachend soll die voll entfaltete Ballhülle als ganze Kugel angenommen werden.

Gegeben: 

Kreiszahl \( \pi \approx 3.0 \) - Erdbeschleunigung \( g \approx 10 \mathrm{m} \mathrm{s}^{-2} \) - Isentropenexponent trockner Luft \( \kappa_{\mathrm{Luft}}=1.4=7 / 5 \) - Dichte von Helium am Startplatz \( \rho_{0, \mathrm{He}} \approx 0.2 \mathrm{kg} \mathrm{m}^{-3} \) - Volumen einer Kugel \( V_{K}=\frac{4}{3} \pi r^{3} \) - Oberfläche einer Kugel \( A_{K}=4 \pi r^{2} \) - Numerische Werte einiger nützlicher Potenzen - Lơsungshinweise Die Skalenhöhe H wird durch den Druck, die Dichte und die Gravitationsbeschleunigung charakterisiert. Druckverlauf bei isentroper Atmosphärenschichtung: \[ p_{h}=p_{0}\left(1-\frac{\kappa-1}{\kappa} \frac{z}{H}\right)^{\frac{s}{\kappa-1}} \]

ich habe alles berechnet bis Aufgabenteil b)

p_h habe ich berechnet und muss noch T_h berechnen und das ganze in Diagramm eintragen!

Welche formel brauche ich für T_h

T_h =T₀ *(p_h/p₀ = (6,85°C+273-(1247Pa/1000Pa)^(1,4-1)/1,4 =298,068 K

ist das richtig hier was ich berechnet habe?

Gruß

Comments

 deinen blauen Zettel zu lesen macht mir zu viel Mühe, aber dass die Temperatur in 25km Höhe deutlich höher als am Boden ist, ist sicher falsch. das kannst du ja auch an den mitgelieferten Diagrammen sehen.

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Hallo lul,

kannst du mir bitte helfen wie ich diese Aufgabe lösen soll`

Also für p(h)= 100000* e^-25/10 berechnet und da kommt = 8,208*10³ Pa raus

Habe ich formel falsch?

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hallo

 kannst du sagen, wie du auf die -25/10 im Exponenten kommst?

davor steht doch eine völlig andere Formel für den Isotopen Druckverlauf.?

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ich werde die meine Lösungen nochmal aufschreiben und hochladen damit man alles besser erkennen kann... danach können wir nochmal über b) sprechen

Vielen Dank

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Hier sind meine Rechnungen:

a)

1 bar=100000 Pa

\( H=\frac{p_{0}}{\rho_{0} g} \)

\( H=\frac{100000 Pa{}}{1kgm^-3 {*} 10ms^-2 } \)  = 10000 m = 10 km

b)

(Meine Rechnung oben war diese Rechnung):

z=h=25 km (vorgegeben)

\( p=p_{o} \exp \left[-\frac{z}{H}\right] \)

\( p=100000 Pa{} \exp \left[-\frac{25 km}{10 km}\right] \) = 8208,5 Pa

Jetzt habe ich die Formel genommen was vorgegeben war:

\( p_{h}=p_{0}\left(1-\frac{\kappa-1}{\kappa} \frac{z}{H}\right)^{\frac{s}{\kappa-1}} \)

\( p_{h}=100000 Pa{}\left(1-\frac{1,4-1}{1,4} \frac{25 km}{10 km}\right)^{\frac{1,4}{1,4-1}} \) = 1246,7 Pa

Ich würde jetzt für die Temperatur  T_h diese Formel anwenden:

\( T=T_{0}-\frac{\kappa-1}{\kappa} \frac{\hat{m} g}{R} h=T_{0}-\frac{g}{c_{p}} h \)

aber hier fehlen mir c_p und R: was soll ich machen?

c)

Menge Helium sodass Balon abhebt:

\( F_{A}>F g→ \rho_{Luft} \cdot \frac{M_{He}}{\rho_{He}}> \)\( \left(M_{He}+M_{B}\right) g+M_{He} g→ M_{He}>\frac{M_{N L}+M_{B}}{\left(\frac{\rho_{L}}{\rho_{He}}-1\right)}=60 \mathrm {kg} \)

d)

Fläche Ballonseide fur Missionshöhe:

\( P V=\operatorname{mR} T \quad \) Isotherm
\( P_{0} V_{0}=P_{1} V_{1} \Rightarrow V_{1}=V_{0} \cdot \frac{P_{0}}{P_{1}}=3750 \mathrm{m}^{3} \)
mit \( V_{0}=\frac{M_{He}}{\rho_{He}}=300 \mathrm{m}^{3} \)
\( V_{1}=\frac{4}{3} \pi r^{3} \Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi} \mathrm{V}_{1}} \)
\( \Rightarrow A_{B}=4\pi\left(\frac{3}{4\pi} \mathrm{V}_{1}\right)^{2 / 3} \mathrm{m}^{2} \approx 1150 \mathrm{m}^{2} \)

Was ist jetzt deine Meinung lul?

Gruß

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c)

\( T_{h}=T_{0}-\frac{g}{C_{p}} \cdot h=(6,85+273,15) \mathrm{K}-\frac{10 \mathrm{m} / s^2}{1,005 \frac{j}{g \mathrm{K}}} \cdot 25000 \mathrm{m}= \)-248476,22 K

Diese Ergebnis ist voll komisch!!! und wie soll man den T_h in Diagramm eintragen?

Zu Begründung: ?

Gruß

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 ich hab noch mal nachgelesen, für d) sollst du doch isotherm, und im Diagramm ablesen? die Temperaturformel ist so nicht richtig, die Dimension stimmt nicht. für welchen Punkt brauchst du die?

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Hallo lul,

ich würde erstmal aufgaben teil b) zu ende machen:

ich habe bis jetzt immer noch nicht T berechnet...ich habe oben versucht T zu berechnen aber es hat leider nicht so gut geklappt.

Hast du da ne Idee wie ich T berechnen kann oder kannst du mir bitte sagen ob ich richtige werte eingesetzt habe oder ob es etwas fehlt?

Und wenn ich T berechne muss ich den Wert irgendwie in Diagramm eintragen aber kein plan wie ich das machen soll: da ist ja druck und die Höhe gegeben... soll ich dann von der höhe 25000 km zu der Temperaturachse eine gerade ziehen?

Gruß

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\( T=t_0 \cdot\left(\frac{p_h}{p_{0}}\right)^{\frac{k-1}{k}}=(6,85 °C+273,15) K\left(\frac{1246,7_{}  p_{a}}{100000 p_a}\right)^{\frac{1,4-1}{1,4}}=80 \mathrm{k} \)

oder mit der Formel:
\( T=t_{0}\left(1-\frac{k-1}{k} \frac{z}{H_{}}\right)=280 \mathrm{k}\left(1-\frac{1.4-1}{1.4} \frac{25000 m}{10000 m}\right)=80 \mathrm{k} \)

Beide Ergebnisse sind identisch, ich würde sagen das hier müsste so mit 80 K stimmen!wie zeichne ich das jetzt in Diagramm ein?

P_h hatte ich einfach von der Höhe 25000 m zu der Druck-Achse 1246,7 Pa eine gerade  gezogen.

Wie zeichne ich jetzt 80 K? Und wie soll ich das ganze bewerten, hast du eine Idee hierfür?
Gruß

Answer 1

Hallo

 mit der richtigen Formel jetzt den richtigen Druck oben ist ok,  die Formel mit dem z/H kenne ich nicht.

cp für trockene Luft ist 1 bis 1,005. die allgemeine gaskonstante R steht überall.

Der Rest scheint mir richtig, d.h. der Rechenweg, die Zahlen habe ich nicht überprüft.

Gruß lul