Welche Temperatur muss Luft im Inneren eines Heißluftballons haben, damit dieser schwebt?

Question

Aufgabe:

Ein Heißluftballon fasst V = 500 l und hat eine Masse m = 20 g.
Die Außentemperatur beträgt T = 20 °C, bei der Luft eine Dichte von ρ = 1,3 kg/m3 hat.
Welche Temperatur muss die heiße Luft mindestens haben, damit der Ballon schwebt? (Lösung = 29.3°C)

Ansatz:

Die Idee dahinter ist ja: höhere Temperatur -> Ausdehnung der Luft -> größeres Volumen (?) -> kleinere Dichte -> schweben.

Zuerst habe ich versucht die Aufstiegskraft mit der Gewichtskraft gleichzusetzen, also ρ * V * g = m * g <=> m = ρ * V. Das bringt mich jedoch nicht weiter.
Dann habe ich es mit der allgemeinen Gasgleichung versucht V1 * p1 / T1 = V2 * p2 / T2. Bei gleichem Druck (p1 = p2) und Umstellen ergibt sich T2 = T1 * V1 / V2. Ich weiß jedoch nicht wie ich auf das Volumen bzw. die Dichte im Inneren des Ballons kommen soll..

Würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Liebe Grüße.

Answer 1

Hallo,

bist du sicher, dass die von dir angegebenen Werte mit denen im Original-Aufgabentext angegebenen übereinstimmen?

T = 20 °C,bei der Luft eine Dichte von ρ = 1,3 kg/m3 hat.

Vielleicht hat der Autor in seinem Arbeitszimmer so dicke Luft, aber in der Fachliteratur werden 1,204 kg/m³ bzw. 1,2041kg/m³ angegeben, bei einem atmosphärischen Luftdruck von 101325 Pa..

Zuerst habe ich versucht die Aufstiegskraft mit der Gewichtskraft gleichzusetzen, .... Das bringt mich jedoch nicht weiter.

Mich hat dieser Ansatz weiter gebracht und ich bin auf eine Temperatur von ca. 29,7°C gekommen bei einer Luftdichte von 1,2041kg/m³ .

Ich habe die Auftriebskraft (= Gewichtskraft der verdrängten Luft) gleich der Gewichtskraft der erwärmten Luft plus der Last gesetzt.

V₂ habe ich durch V₁ * T₂/T₁ ersetzt.

ergibt sich T2 = T1 * V1 / V2

Da scheint sich bei deiner Umstellung ein Fehler eingeschlichen zu haben.

Dieser Schritt entfällt, wenn mit V = V₁ = V₂ = 0,5m³ gerechnet wird, weil aus dem offenen Ballon erwärmte Luft entweicht. Ergebnis dann ca. 30,1°C.

Die Dichte der erwärmten Luft habe ich durch p / (R_S * T₂) ersetzt mit p = 101325 Pa und der spezifischen Gaskonstanten R_S = 287,058 J / (kg * K).

Danach sollte sich eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten, nämlich T₂  ergeben, die problemlos gelöst werden sollte.

Ergänzung:

Du könntest auch mit der Formel :

ρ_Innen / ρ_Aussen = T_Aussen / T_Innen  → T_Innen = T_Aussen * ρ_Aussen / ρ_Innen rechnen.

Die Herleitung der Formel findest du u.a. hier:

https://www.leifiphysik.de/waermelehre/allgemeines-gasgesetz/ausblick/heissluftballon-physik

_{Ganz unten "Theorie einblenden" anklicken. Siehe Gleichung (5).}

Die Masse mit 20g anzunehmen, erscheint mir nicht realistisch und ρ_Luft20°C  =  1,3 kg / m³ ist m.E. zu großzügig aufgerundet.

Comments

Hallo,

Erstmal danke für die schnelle Rückmeldung.

bist du sicher, dass die von dir angegebenen Werte mit denen im Original-Aufgabentext angegebenen übereinstimmen?

Ja die Angaben stimmen so, weiß auch nicht warum wir mit 1.3 kg/m³ rechnen sollen.

Ich habe die Auftriebskraft (= Gewichtskraft der verdrängten Luft) gleich der Gewichtskraft der erwärmten Luft plus der Last gesetzt.

Also ρ_Aussen * V * g = (ρ_Innen * V + m) * g

<=> ρ_Innen = ρ_Aussen - m / V

<=> ρ_Innen = 1.26 kg/m³ (ρ_Aussen=1.3kg/m³, m=0.02kg, V=0.5m³)

Stimmt das so?

Da scheint sich bei deiner Umstellung ein Fehler eingeschlichen zu haben.

Stimmt, das müsste T₂ = V₂ * T₁ / V₁ sein.

Wenn ich dann V₂ = 1.26 * 0.5 = 0.63 und V₁ = 1.3 * 0.5 = 0.65 einsetze, komme ich auf T₂ = 19.38 was ja nicht stimmen kann.

Wir dürfen eigentlich keine Werte nehmen die nicht in der Angabe stehen, also komme immer noch nicht so wirklich weiter..

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Hallo,

Stimmt das so?

Ja, das stimmt, wenn mit den von dir angegebenen Werten gerechnet wird.

was ja nicht stimmen kann.

Ja, das kann nicht stimmen, u.a. auch weil deine Rechnung falsch ist.

V₂ ist nicht 1,26 * 0,5 und V₁ nicht 1,3 * 0,5.

1,26 ist die Luftdichte der erwärmten Luft in kg / m³ und 0,5 ist das Volumen in m³.

Wenn die Luftdichte mit dem Volumen multipliziert wird, kann kein Volumen in m³ herauskommen, stattdessen solltest du bei deiner Rechnung als Einheit (kg /m³) * m³ = kg erhalten , also eine  Masse. Du hast m = V * ρ gerechnet. Offensichtlich hast du noch Probleme mit dem Umstellen von Formeln.                                                         ρ = m / V → V = m /  ρ  →  m = ρ * V wäre richtig.

also komme immer noch nicht so wirklich weiter..

Siehe meine ergänzte Antwort.

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Vielen Dank, ich habe es jetzt endlich verstanden! Und wenn ich Kelvin anstatt von Celsius nehme komme ich sogar auf das korrekte Ergebnis.

Hier nochmal die ganze Lösung:

Wieviel muss die Dichte im Inneren des Ballons betragen, damit die Masse m getragen werden kann?

FA = FG

<=> ρAussen * V * g = (ρInnen * V + m) * g

<=> ρInnen = ρAussen - m / V

<=> ρInnen = 1.26 kg/m³  | (ρAussen=1.3kg/m³, m=0.02kg, V=0.5m³)


Wieviel muss die Temperatur im Inneren des Ballons betragen, damit die oben berechnete Dichte erreicht wird?

p1 * V1 / T1 = p2 * V2 / T2  | (mit p1 = p2)

<=> V1 / T1 = V2 / T2  | (V = m / ρ)

<=> m / (ρ1 * T1) = m / (ρ2 * T2)

<=> T2 = T1 * ρ1 / ρ2  | (ρ1=1.3kg/m³, ρ2=1.26kg/m³, T1=293.15K)

<=> T2 ≈ 302.456 K ≈ 29.3 °C

Answer 2

Hallo

Das Volumen wird vergrößert, das hast du ja richtig, der Ballon hat aber weiter nur 500dm^3 Volumen, d.h. V2-V1 strömt aus. (Heißluftballon sind unten offen) damit wird er so leicht, dass er die 20g tragen kann. (20g kommen mir bei 500l wenig vor?)

Gruß lul