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Berechnung der Bewegungsgleichung und Bestimmung von \( \omega \)
Für ein Federpendel lautet die Bewegungsgleichung:
\(
\ddot{x}=-\frac{k}{m}x
\)
wobei \( \ddot{x} \) die Beschleunigung der Masse \( m \) in \( x \)-Richtung, \( k \) die Federkonstante und \( x \) die Auslenkung aus der Ruhelage ist. Die Gleichung kann auch in der Form
\(
\ddot{x} + \omega^2 x = 0
\)
geschrieben werden, wobei \( \omega \) die Kreisfrequenz der Schwingung ist. Aus dem Vergleich folgt, dass
\(
\omega^2 = \frac{k}{m}
\)
Mit \( k = 100 \mathrm{~N/m} \) und \( m = 1,0 \mathrm{~kg} \), erhält man:
\(
\omega^2 = \frac{100 \mathrm{~N/m}}{1,0 \mathrm{~kg}} = 100 \mathrm{~s}^{-2}
\)
Daraus ergibt sich \( \omega = 10 \mathrm{~s}^{-1} \).
Berechnung der Periodendauer der Schwingung
Die Periodendauer \( T \) eines Federpendels ist durch die Beziehung
\(
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
\)
gegeben. Setzt man die gegebenen Werte ein, erhält man:
\(
T = 2\pi \sqrt{\frac{1,0 \mathrm{~kg}}{100 \mathrm{~N/m}}} = 2\pi \sqrt{0,01 \mathrm{~s}^2} = 0,63 \mathrm{~s}
\)
Aufstellung der Funktion \( x(t) \)
Die allgemeine Lösung für die Bewegung eines Federpendels ist:
\(
x(t) = x_0 \cos(\omega t + \phi)
\)
Wobei \( x_0 \) die Amplitude, \( \omega \) die Kreisfrequenz, \( t \) die Zeit und \( \phi \) die Phase am Anfang (\( t=0 \)) ist. Für \( t=0 \) und \( x_0=5,0 \text{ cm} = 0,05 \text{ m} \), mit der maximalen Dehnung am Anfang, ist \( \phi = 0 \), da das Pendel aus der Ruhelage losgelassen wird. Somit ist
\(
x(t) = 0,05 \cdot \cos(10 t)
\)
Berechnung der Auslenkung zum Zeitpunkt \( t=1,0 \mathrm{~s} \)
Setzt man \( t = 1,0 \mathrm{~s} \) in die Funktion für \( x(t) \) ein, ergibt sich:
\(
x(1,0 \mathrm{~s}) = 0,05 \cdot \cos(10 \cdot 1,0) = 0,05 \cdot \cos(10) \approx -0,042 \mathrm{~m} = -4,2 \mathrm{~cm}
\)
Das negative Vorzeichen deutet darauf hin, dass die Auslenkung in die entgegengesetzte Richtung zur ursprünglichen Auslenkungsrichtung liegt.
