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Bestimmung des Gitterabstands einer CD-Oberfläche
Um den Gitterabstand einer CD-Oberfläche zu bestimmen, nutzen wir das Phänomen der Lichtinterferenz, das auftritt, wenn Licht an den vielen kleinen Rillen (dem "Gitter") auf der Oberfläche der CD reflektiert wird. Die CD wirkt dabei wie ein Beugungsgitter für das Licht.
Theorie:
Die verwendete Formel für die Berechnung des Gitterabstands \(d\) ist eine Form der Gittergleichung:
\(
\lambda=\frac{d \cdot \sin \alpha}{k}
\)
wo:
- \(\lambda\) die Wellenlänge des Lichts ist,
- \(d\) der Gitterabstand ist,
- \(\alpha\) der Winkel zwischen der Einfallsrichtung und der Beobachtungsrichtung bezüglich der Normalen (Senkrechten) auf das Gitter ist,
- \(k\) die Ordnung des Maximums ist (in unserem Fall \(k=1\), da wir das erste Maximum betrachten).
Wellenlänge von blauem Licht:
Aus dem Tafelwerk entnehmen wir, dass die Wellenlänge von blauem Licht im Bereich von etwa \(450\,nm\) bis \(495\,nm\) liegt. Wir nehmen einen mittleren Wert von \(470\,nm\) (\(470 \times 10^{-9}\,m\)) für unsere Berechnungen an.
Experimentelle Bestimmung des Gitterabstands:
Beim direkten Beleuchten der CD von oben und unter Beobachtung der blauen Streifen müssen wir den Abstand zwischen den Streifen und die Höhe des Lichts über der CD messen, um den Winkel \(\alpha\) zu bestimmen.
1. Misst man den Abstand \(L\) zwischen zwei blauen Streifen und die Höhe \(h\) der Lichtquelle über der CD, kann man den Winkel \(\alpha\) mit Hilfe der Tangensfunktion bestimmen:
\(
\tan(\alpha) = \frac{L/2}{h}
\)
Um \(\alpha\) zu finden, lösen wir nach \(\alpha\) auf:
\(
\alpha = \arctan\left(\frac{L}{2h}\right)
\)
2. Mit dem Wert von \(\alpha\) und der Wellenlänge von blauem Licht \(\lambda\), kann der Gitterabstand \(d\) dann wie folgt bestimmt werden:
\(
d = \frac{\lambda}{\sin(\alpha)}
\)
Berechnung von \(\alpha\) und \(d\):
Gegeben sei:
- \(L = 2 \, cm = 0.02 \, m\) (angenommener Wert für den Abstand der blauen Streifen),
- \(h = 10 \, cm = 0.1 \, m\),
- \(\lambda = 470 \times 10^{-9}\, m\).
Dann berechnen wir \(\alpha\):
\(
\alpha = \arctan\left(\frac{0.02}{2 \times 0.1}\right) = \arctan(0.1) \approx 5.71^\circ
\)
Und dann \(d\):
\(
d = \frac{470 \times 10^{-9}}{\sin(5.71^\circ)} \approx \frac{470 \times 10^{-9}}{0.0995} \approx 4.72 \times 10^{-6}\, m = 4720\, nm
\)
Fehleranalyse:
Nehmen wir an, die Höhe \(h\) des Lichts wurde um \(0.5\,cm\) ungenau gemessen. Dieser Fehler würde sich auf die Bestimmung des Winkels \(\alpha\) und somit auf den berechneten Wert von \(d\) auswirken.
Die neue Höhe wäre entweder \(10.5\, cm\) oder \(9.5\, cm\), was einen neuen Winkel \(\alpha'\) und damit einen neuen Gitterabstand \(d'\) ergibt. Die Differenz in \(d\) im Vergleich zum ursprünglichen Wert würde uns den absoluten Fehler geben, den wir dann in einen prozentualen Fehler umrechnen können.
Da die genauen Berechnungen von der tatsächlichen Messung abhängen und ohne spezifische Messwerte nicht final durchgeführt werden können, dient dies lediglich als Anleitung zur Fehleranalyse. Der prozentuale Fehler berechnet sich aus:
\(
\text{Prozentualer Fehler} = \left(\frac{\text{Absoluter Fehler}}{\text{Ursprünglicher Wert}}\right) \times 100\%
\)
Zusammenfassend, indem man die Geometrie der Lichtreflexion an einer CD analysiert, kann man den Gitterabstand der CD mit relativ einfachen Mitteln experimentell bestimmen, wobei die Genauigkeit dieser Methode durch sorgfältige Messungen und Berechnungen verbessert werden kann.
