Liebe Community!
Folgende Aufgabe können ich und einige KommilitonInnen nicht lösen:
Angabe und Hinweise:
Die Radiale Komponentenfunktion \( E_r \) eines statischen, elektrischen Feldes \( E : \mathbb{R}^{3} \setminus {0} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit \( E(p) = E_r (|p| ) \frac{p}{|p|}\) sei eine Lösung der DG \( y^{\prime} = f(x,y) \) mit \( f : \mathbb{R}_{\gt0} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) und \(f (x,y) = - (2y/x) + g(x)\) für gegebene Funktion\( ^2 \) \( g : \mathbb{R}_{\gt0} \rightarrow \mathbb{R} \)
\( ^2 \) eine solches Vektorfeld E ist um 0 drehinvariant und radial gerichtet. Die Funktion \( ε_0 =: ρ\) ist die die (drehinvariante) Ladungsdichte des Feldes E. Es gilt \( div \: E = g \). Thomsons Atommodell macht von diesem Feld E gebrauch.
Aufgabe:
Zeigen Sie mit der Variation der Konstantenformel: Für die Menge \( L_g\) aller maximalen Lösungen von \( y^{\prime} = f(x,y) \) gilt mit einer beliebigen aber fest gewählten Konstante \( s > 0\)
\( L_g = \left\{ α_c : \mathbb{R}_{\gt0} \rightarrow \mathbb{R}, \; mit \; α_c (x) = x^{-2} \left[ c + \int_{s}^{x} r^2 g(r) dr \right] \; | \; c \in \mathbb{R} \right\} \)
Aufgrund der aktuellen Schließung aller Universitäten in Österreich sind leider alle Lehrveranstaltungen, die uns bei der Lösung der Aufgabe hätten helfen sollen, ersatzlos gestrichen worden. Darum bitten wir nun um Eure Hilfe!
Vielen Dank für Eure Antworten im Voraus!
