Richtig/Falsch Balken Maximale Durchbiegung

Question

Aufgabe:

Ein masseloser Balken (Länge L, Biegesteifigkeit EI) ist im Punkt A fest und im Punkt B in horizontaler Richtung verschiebbar gelagert. Der Abstand zwischen Lager A und Lager B wird durch d beschrieben. Der Abstand d liegt dabei immer im Bereich 0.1L ≤ d ≤ L. Der Balken ist wie skizziert durch eine konstante Streckenlast belastet.

Es geht um folgende Richtig-Falsch-Aufgabe:

Statement	Richtig	Falsch
1. Das Schnittmoment am Lager B ist stets 0.		x
2. Die Streckenlast q_{0} hat keinen Einfluss auf den Normalkraftverlauf im Balken.	x
3. Im Bereich 0.1L ≤ d ≤ L gibt es zwei Abstände d, sodass w(x) ≥ 0 für 0 ≤ x ≤ L.	x
4. Für den Lagerabstand d=8/11 L tritt die maximale Durchbiegung an x=4/11 L auf.		x

zu 1. habe ich einfach das Moment nach B ausgerechnet. und da kommt nicht 0 raus.

zu 3. Wieso gibt es nur 2 Abstände für welche das zutrifft? ich habe gedacht es gibt unendliche viele?

zu 4. die Bedingung ist doch w'(x)=0 und dann eben gucken was für x rauskommt. ist hier aber sehr schwer. da die Biegegleichung so aussieht:

\( \omega(x) E I=\frac{1}{24} q_{0} x^{4}-\frac{1}{6} q_{0} L\left(1-\frac{L}{2 d}\right) x^{3}- q_{0}\frac{L^{2}}{2 d}\langle x-d\rangle^{3}+\frac{1}{24} q_{0}\left(4 {Ld}^{2}-2 L^{2} d-d^{3}\right) x \)

\(\omega^{\prime}(x) EI=\frac{1}{6} q_{0} x^{3}-\frac{1}{2} q_{0} L\left(1-\frac{L}{2d} \right) x^{2}-\frac{q_{0} L^{2}}{4 d}<x-d>^{2}+ \frac{1}{24} q_{0}\left(4 {Ld}^{2}-2 L^{2} d-d^{3}\right)\)

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung der einzelnen Aussagen:

Zu 1: Das Schnittmoment am Lager B ist stets 0.
Richtig ist, dass das Statement falsch markiert wurde. Das Biegemoment an einem frei drehbaren, aber in horizontaler Richtung verschiebbaren Lager, wie es bei Lager B der Fall ist, ist tatsächlich Null. Diese Annahme ergibt sich direkt aus den Randbedingungen für solche Lagerungen. Das Moment ist allerdings nicht überall im Balken Null, sondern nur unmittelbar am Lager B. Da das Moment jedoch nicht an jedem Punkt des Balkens Null ist, könnte die Berechnung, abhängig von der Interpretation der Frage, doch zu einem Missverständnis führen. Die konkrete Aussage, dass es "stets" 0 ist, könnte näher darauf hindeuten, dass um das Lager B herum gemeint ist, und in diesem spezifischen Kontext wäre die Aussage korrekt.

Zu 2: Die Streckenlast \(q_0\) hat keinen Einfluss auf den Normalkraftverlauf im Balken.
Dieses Statement ist korrekt markiert als wahr. Da der Balken ausschließlich durch eine gleichmäßige Streckenlast belastet wird, wird dies hauptsächlich Biegemomente und Querkräfte hervorrufen. Normalkräfte entstehen primär durch axiale Belastungen (wie Zug- oder Druckkräfte), die entlang der Längsachse des Balkens wirken, und nicht durch transversale Lasten wie Streckenlasten.

Zu 3: Im Bereich \(0.1L \leq d \leq L\) gibt es zwei Abstände \(d\), sodass \(w(x) \geq 0\) für \(0 \leq x \leq L\).
Diese Aussage wird als korrekt angenommen, allerdings ohne spezifische Berechnung oder tiefergehende Erklärung zur Bestätigung. Die Durchbiegung \(w(x)\) eines Balkens unter Last hängt von mehreren Faktoren ab, einschließlich der Lager- und Lastanordnung. Die spezifische Formulierung und Analyse dieses Problems deutet darauf hin, dass es spezielle Szenarien gibt, für die die Durchbiegung immer positiv oder Null sein kann, was eher ungewöhnlich ist und eine detailliertere Analyse des Systems erfordert.

Zu 4: Für den Lagerabstand \(d=\frac{8}{11} L\) tritt die maximale Durchbiegung bei \(x=\frac{4}{11} L\) auf.
Diese Aussage wurde als falsch identifiziert. Die Ableitung \(w'(x)\) der Durchbiegungsfunktion \(w(x)\) wird genutzt, um die Orte der Extrema (also maximale Durchbiegungspunkte) zu finden, indem man \(w'(x) = 0\) setzt. Die spezifische Form der bereitgestellten Biegegleichung zeigt, dass die Berechnung der Durchbiegung und ihrer Ableitungen von den Werten für \(q_0\), \(L\), und \(d\) abhängig ist. Ohne die spezifische Lösung dieser Gleichung angegeben zu haben, ist es schwierig, die Richtigkeit dieser Behauptung präzise zu bewerten, aber die Identifizierung von \(w(x) = 0\) folgt nicht direkt aus der Gleichung ohne weitere Analyse.

Ohne weitere detaillierte Berechnungen ist es herausfordernd, tiefere Einsichten in die spezifischen Mechanismen oder quantitativen Ergebnisse für die Aussagen 3 und 4 zu liefern. Die grundlegenden Konzepte der Balkentheorie und die Interpretation der gegebenen Gleichungen sind jedoch korrekt dargelegt.