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Wärmeleistung einer Gruppe von Menschen berechnen
Um die Wärmeleitung \(P_{\text{Ges}}\) zu berechnen, die von einer Gruppe von 1000 Menschen an die Umgebung abgegeben wird, verwenden wir das Stefan-Boltzmann-Gesetz, welches lautet:
\(P = \sigma \cdot A \cdot \varepsilon \cdot (T^4 - T_{\text{umgebung}}^4)\)
Dabei ist:
- \(P\) die abgegebene Leistung in Watt (W),
- \(\sigma\) die Stefan-Boltzmann-Konstante mit einem Wert von \(5,67 \times 10^{-8} \, W / (m^2 \cdot K^4)\),
- \(A\) die Oberfläche in Quadratmetern (\(m^2\)),
- \(\varepsilon\) der Emissionsgrad des Körpers (für die menschliche Haut \(0,80\)),
- \(T\) die Temperatur des Körpers in Kelvin,
- \(T_{\text{umgebung}}\) die Temperatur der Umgebung in Kelvin. (In diesem Fall nicht gegeben und für unsere Berechnung unter angenommener idealer Bedingungen nicht notwendig, da der Unterschied \(T^4 - T_{\text{umgebung}}^4\) die relevante Größe ist und wir ausschließlich die von Menschen emittierte Leistung betrachten wollen.)
Um Temperaturen in Kelvin umzuwandeln, verwenden wir die Formel: \(T(K) = T(°C) + 273,15\).
Für eine einzelne Person:
- \(A = 1,4 \, m^2\),
- \(\varepsilon = 0,80\),
- \(T = 33°C = 33 + 273,15 = 306,15 \, K\).
Die Gesamtleistung (\(P_{\text{Ges}}\)) für \(n = 1000\) Menschen berechnen wir durch Multiplikation der einzelnen Leistung mit der Anzahl Menschen:
\(P_{\text{Ges}} = n \cdot \sigma \cdot A \cdot \varepsilon \cdot T^4\)
\(P_{\text{Ges}} = 1000 \cdot 5,67 \times 10^{-8} W/(m^2 \cdot K^4) \cdot 1,4 m^2 \cdot 0,80 \cdot (306,15 K)^4\)
\(P_{\text{Ges}} = 1000 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot 1,4 \cdot 0,80 \cdot (306,15)^4\)
\(P_{\text{Ges}} \approx 1000 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot 1,4 \cdot 0,80 \cdot 8802573364,1\)
\(P_{\text{Ges}} \approx 1000 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot 1,4 \cdot 0,80 \cdot 8802,57\)
\(P_{\text{Ges}} \approx 1000 \cdot 5,67 \cdot 1,4 \cdot 0,80 \cdot 8802,57 \times 10^{-8}\)
\(P_{\text{Ges}} \approx 3986,29 \, W\)
Also beträgt die von 1000 Menschen abgegebene Wärmeleistung ungefähr 3986,29 Watt.
Ermittlung der Wellenlänge des Strahlungsmaximums mit Hilfe des Wien'schen Verschiebungsgesetzes
Das Wien'sche Verschiebungsgesetz lautet:
\(\lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}\)
wobei \(b\) die Wien'sche Verschiebungskonstante ist und den Wert \(2,897 \times 10^{-3} m \cdot K\) hat, und \(T\) die absolute Temperatur in Kelvin ist.
Für unsere Berechnung verwenden wir die Temperatur von 33°C, umgerechnet in Kelvin, die 306,15 K beträgt:
\(\lambda_{\text{max}} = \frac{2,897 \times 10^{-3} m \cdot K}{306,15 K}\)
\(\lambda_{\text{max}} \approx \frac{2,897 \times 10^{-3}}{306,15}\)
\(\lambda_{\text{max}} \approx 9,466 \times 10^{-6} m\)
\(\lambda_{\text{max}} \approx 9,466 \, \mu m\)
Die Wellenlänge des Strahlungsmaximums einer Gruppe von Menschen, deren Haut eine Temperatur von 33°C hat, liegt demnach bei ca. 9,466 Mikrometern.
