Start einer Silvesterrakete mit Integralrechnung

Question

Aufgabe:

Eine Silvesterrakete wird senkrecht vom Erdbeben in den Nachthimmel geschossen. Der Treibsatz brennt in 4 Sekunden ab, d.h. die Rakete wird in diesem Moment nicht mehr beschleunigt. Nachdem der Treibsatz ausgebrannt ist, nimmt die Geschwindigkeit der weiterhin senkrecht aufsteigenden Rakete innerhalb von 2 Sekunden linear auf 0 m/s im höchsten Punkt ab. Der gesamte Geschwindikeitsverlauf für den Aufstieg der Rakete ist im folgenden Diagramm dargestellt. Die Aufgabe sollte Mithilfe der Integralrechnung gelöst werden.

Problem/ Aufgabenstellung

a) Bestimmen Sie anhand des Diagramms, wann die Rakete ihre maximale Geschwindigkeit und wann Sie Ihre maximale Flughöhe erreicht. Geben Sie begründet einen ungefähren Wert für die maximale Flughöhe an.

b) Ermitteln Sie Funktionsterme zur Beschreibung der Raketengeschwindigkeit für die beiden Zeitabschnitte 0s ≤ t ≤4s und 4s ≤ t ≤6s.

c) Bestimmen Sie rechnerisch in welche maximale Höhe über dem Erdbeben die Rakete aufsteigt.

d)Bestimmen Sie den Zeitpunkt zu dem die Rakete eine Höhe von 16 2/3m erreicht.

Wenn mir jemand weiterhelfen könnte wäre ich sehr Dankbar.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Start einer Silvesterrakete

Stichworte: integralrechnung,anwendung,integral

Aufgabe:

Eine Silvesterrakete wird senkrecht vom Erdbeben in den Nachthimmel geschossen. Der Treibsatz brennt in 4 Sekunden ab, d.h. die Rakete wird in diesem Moment nicht mehr beschleunigt. Nachdem der Treibsatz ausgebrannt ist, nimmt die Geschwindigkeit der weiterhin senkrecht aufsteigenden Rakete innerhalb von 2 Sekunden linear auf 0 m/s im höchsten Punkt ab. Der gesamte Geschwindikeitsverlauf für den Aufstieg der Rakete ist im folgenden Diagramm dargestellt. Die Aufgabe sollte Mithilfe der Integralrechnung gelöst werden.

Problem/ Aufgabenstellung

a) Bestimmen Sie anhand des Diagramms, wann die Rakete ihre maximale Geschwindigkeit und wann Sie Ihre maximale Flughöhe erreicht. Geben Sie begründet einen ungefähren Wert für die maximale Flughöhe an.

b) Ermitteln Sie Funktionsterme zur Beschreibung der Raketengeschwindigkeit für die beiden Zeitabschnitte 0s ≤ t ≤4s und 4s ≤ t ≤6s.

c) Bestimmen Sie rechnerisch in welche maximale Höhe über dem Erdbeben die Rakete aufsteigt.

d)Bestimmen Sie den Zeitpunkt zu dem die Rakete eine Höhe von 16 2/3m erreicht.

Wenn mir jemand weiterhelfen könnte wäre ich sehr Dankbar.

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Warum bebt die Erde?

Answer 1

Beim Verschieben aus der Mathelounge wurde meine
Antwort ins Nirwana verschoben.
Das ist eine Sauerei. Immerhin habe ich ca.
25 min dafür aufgewendet.

( t | v )
( 0 | 0 )
( 4 sec | 20 m/s )
( 6 sec | 0 m/s ) ( höchster Punkt )

a) Bestimmen Sie anhand des Diagramms, wann die Rakete ihre maximale Geschwindigkeit und wann Sie Ihre maximale Flughöhe erreicht. Geben Sie begründet einen ungefähren Wert für die maximale Flughöhe an.

max v = 20 m/s
max h bei 6 sec

Es handelt sich beim Abbrennen der Rakete
um eine ungleichförmig beschleunigte Bewegung.
Die mittlere Geschwindigkeit liegt  bei etwa
12 m/s.
s1 ≈ 12 m/s * 4 sec ≈ 48 m
Dann erfolgt eine gleichmäßig verzögerte Bewegung ( Gerade ) zwischen ( 20 - 0 ) / 2 mit 10 m/s als mittlere
Geschwindigkeit bis zur max Höhe
s2 = 10 m/s * 2 sec = 20 m

s ≈ 48 + 20 = 68 m

b) Ermitteln Sie Funktionsterme zur Beschreibung der Raketengeschwindigkeit für die beiden Zeitabschnitte 0s ≤ t ≤4s und 4s ≤ t ≤6s.

0s ≤ t ≤4s : angenommen : Parabel

v ( t ) = a*t^2 + b*t + c
v ( 0 ) = 0  => c = 0
v ( t ) = a*t^2 + b*t
v ( 4 ) = a * 4^2 + b*4 = 20
v ´( t ) = 2*a*t + b
v ´( 4 ) = 2*a*4 + b = 8a + b = 0

16a  + 4b = 20
8a + b = 0
b = -8a
16a + 4*(-8a ) = 20
-16a = 20
a = -1.25

b = -8 * -1.25
b = 10

v ( t ) = -1.25 * t^2 + 10 * t m/s

4s ≤ t ≤6s gleichförmig verzögerte Bewegung
v´ ( t ) = ( 20 - 0 ) / 2 = 10
v ( t ) = 60 - 10 * t m/s


c) Bestimmen Sie rechnerisch in welche maximale Höhe über dem Erdbeben die Rakete aufsteigt.

1.Bewegungsabschnitt
Über Integralrechnung
Stammfunktion
S = -1.25/3 * t^3 + 10 /2 * t^2
[ -1.25/3 * t^3 + 10 /2 * t^2 ] zwischen 0 und 4
s1 = 53.333 m

2.Bewegungsabschnitt
s2 = v(mittel) * 2 =10 * 2 = 20 m

h = 73.333 m

d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt zu dem die Rakete
eine Höhe von 16 2/3 m erreicht
[ -1.25/3 * t^3 + 10 /2 * t^2 ] zwischen 0 und x = 16 2/3
-1.25/3 * x^3 + 10 /2 * x^2  = 16  2/3

x = 2 sec

Die Rakete befindet sich auf dem Rückweg ein
2.mal bei 16 2/3 m
Es wurde als Erdbeschleunigung mit 10 m/s^2 gerechnet
Fallhöhe 73.333 m minus 16 2/3
h = 73.333 - 16  2/3  = 1/2 * 10 * t^2
t ( Fallzeit )= 3.36 sec

Aufstiegszeit 6 sec ( nach Abschuß )
Fallzeit = 3.37 sec
Nach 9.37 sec befindet sich die Rakete wieder
in 16 2/3 m Höhe

Bei Bedarf weiterfragen.

Comments

Vielen Vielen Dank für Ihre Zeit und Ihre Bemühungen

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Könnten Sie mir das mit der gleichförmig verzögerten Bewegung erklären wie Sie dort auf diese Funktion kommen?

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Physikalisch :
Nach Brennschluß der Rakete wird diese durch
die Erdanziehung abgebremst ( verzögert )
bis auf v = 0 = Hochpunkt.
Die Geschindigkeit durch die Erdanziehung ist
v = g * t = 9.81 m/s^2 * 2 sec = 20 m/s
( es wurd wohl anstelle 9.81 der Wert 10 verwendet )
Endgeschwindigkeit der Rakete nach Brennschluß
minus Geschwindigkeit durch die Erdantziehung
20 m/s minus 20 m/s = 0.

Mathematisch brauchst du nur zu rechnen
( ohne die ganze Physik )
Du entnimmst die Werte für die Funktion dem Diagramm
( x | y )
( 4 | 20 )
( 6 | 0 )
m = Δ y / Δ x = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( 20 - 0 ) / ( 4 - 6 )
m = -10
20 = -10 * 4 + b
b = 60
y = -10 * x + 60

---

Die Aufgabe sollte Mithilfe der Integralrechnung gelöst werden.

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Beim Verschieben aus der Mathelounge wurde meine
Antwort ins Nirwana verschoben.

Deine Antwort war noch in der mathelounge hängen geblieben, wurde aber dort bis heute angezeigt. Nach der Verschmelzung der Fragen heute, hast du nun hier zwei Antworten. Du kannst immer noch aus einer einen Kommentar machen :) 

Answer 2

a) Bestimmen Sie anhand des Diagramms,
(1) wann die Rakete ihre maximale Geschwindigkeit [ablesen]
(2) und wann Sie Ihre maximale Flughöhe erreicht. [ablesen]
(3) Geben Sie begründet einen ungefähren Wert für die maximale Flughöhe an. [Karos zählen; Der Fläche von einem Karo entspricht eine Flughöhe von 5 Metern.]

b) Ermitteln Sie Funktionsterme zur Beschreibung der Raketengeschwindigkeit für die beiden Zeitabschnitte
0s ≤ t ≤4s und [quadratische Funktion mit Scheitel S(4|20) durch z.B. P(0|0); also Scheitelform aufstellen.]
4s ≤ t ≤6s. [lineare Funktion]

c) Bestimmen Sie rechnerisch in welche maximale Höhe über dem Erdbeben die Rakete aufsteigt. [bestimmte Integrale über die Funktionen aus b)]

d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt zu dem die Rakete eine Höhe von 16 2/3m erreicht. [Integralgleichung]

Answer 3

Hallo

von 0 bis 4 scheint v parabelformig. Scheitel bei (4s,20m/s)

also ohne Einheiten v=a(x-4)^2+20 aus v(0)=0 a bestimmen (a=-5/4) die Gerade von 4s bis 6s kannst du sicher.

a) maximales v sieht man, maximaler Weg , bei t=6s da bis dahin v>0

b) siehe oben,

c) v integrieren, auf den 2 Stücken 0 bis 4 und 4 bis 6

d) allgemeines integral bis t und das =Höhe in c siehst du ob das vor oder nach den 4s ist.

Gruß lul

Answer 4

v
( 0 | 0 )
( 4 sec | 20 m/s )
( 6 sec | 0 m/s ) ( höchster Punkt )

a) Bestimmen Sie anhand des Diagramms, wann die Rakete ihre maximale Geschwindigkeit und wann Sie Ihre maximale Flughöhe erreicht. Geben Sie begründet einen ungefähren Wert für die maximale Flughöhe an.

max v = 20 m/s
max h bei 6 sec

Es handelt sich beim Abbrennen der Rakete
um eine ungleichförmig beschleunigte Bewegung.
Die mittlere Geschwindigkeit liegt  bei etwa
12 m/s.
s1 ≈ 12 m/s * 4 sec ≈ 48 m
Dann erfolgt eine gleichmäßig verzögerte Bewegung ( Gerade ) zwischen ( 20 - 0 ) / 2 mit 10 m/s als mittlere
Geschwindigkeit bis zur max Höhe
s2 = 10 m/s * 2 sec = 20 m

s ≈ 48 + 20 = 68 m

b) Ermitteln Sie Funktionsterme zur Beschreibung der Raketengeschwindigkeit für die beiden Zeitabschnitte 0s ≤ t ≤4s und 4s ≤ t ≤6s.

0s ≤ t ≤4s : angenommen : Parabel

v ( t ) = a*t^2 + b*t + c
v ( 0 ) = 0  => c = 0
v ( t ) = a*t^2 + b*t
v ( 4 ) = a * 4^2 + b*4 = 20
v ´( t ) = 2*a*t + b
v ´( 4 ) = 2*a*4 + b = 8a + b = 0

16a  + 4b = 20
8a + b = 0
b = -8a
16a + 4*(-8a ) = 20
-16a = 20
a = -1.25

b = -8 * -1.25
b = 10

v ( t ) = -1.25 * t^2 + 10 * t m/s

4s ≤ t ≤6s gleichförmig verzögerte Bewegung
v´ ( t ) = ( 20 - 0 ) / 2 = 10
v ( t ) = 20 - 10 * 2 m/s

c) Bestimmen Sie rechnerisch in welche maximale Höhe über dem Erdbeben die Rakete aufsteigt.

1.Bewegungsabschnitt
Über Integralrechnung
Stammfunktion
S = -1.25/3 * t^3 + 10 /2 * t^2
[ -1.25/3 * t^3 + 10 /2 * t^2 ] zwischen 0 und 4
s1 = 53.333 m

2.Bewegungsabschnitt
s2 = v(mittel) * 2 =10 * 2 = 20 m

h = 73.333 m

d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt zu dem die Rakete
eine Höhe von 16 2/3 m erreicht
[ -1.25/3 * t^3 + 10 /2 * t^2 ] zwischen 0 und x = 16 2/3
-1.25/3 * x^3 + 10 /2 * x^2  = 16  2/3

x = 2 sec

Die Rakete befindet sich auf dem Rückweg ein
2.mal bei 16 2/3 m
Es wurde als Erdbeschleunigung mit 10 m/s^2 gerechnet
Fallhöhe 73.333 m minus 16 2/3
h = 73.333 - 16  2/3  = 1/2 * 10 * t^2
t ( Fallzeit )= 3.36 sec

Aufstiegszeit 6 sec ( nach Abschuß )
Fallzeit = 3.37 sec
Nach 9.37 sec befindet sich die Rakete wieder
in 16 2/3 m Höhe

Bei Bedarf weiterfragen.

Comments

Fehler.
hier muß es heißen

4s ≤ t ≤6s gleichförmig verzögerte Bewegung
v´ ( t ) = ( 20 - 0 ) / 2 = 10
v ( t ) = 60 - 10 * t m/s

Darf ein GRT/CAS genutzt werden ?