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Elastostatik: faserverstärkter Kunststoffstab, Spannung berechnen
Um die Spannungen in der Matrix (M) und in den Fasern (C) eines faserverstärkten Kunststoffstabes aufgrund einer Temperaturänderung
ΔT zu berechnen, gehen wir schrittweise vor. Zuerst stellen wir die allgemeinen Gleichungen auf und lösen sie anschließend mit den gegebenen Zahlenwerten.
1. Gleichungen zur Berechnung der Spannungen
Beim Erwärmen oder Abkühlen eines Verbundmaterials entstehen durch unterschiedliche thermische Ausdehnungskoeffizienten von Matrix und Fasern thermische Spannungen. Die Gesamtdehnung
εges setzt sich aus der Dehnung aufgrund mechanischer Last
εmech und der thermische Dehnung
εtherm zusammen, wobei in unserem Fall
εmech=0, da keine externe mechanische Last appliziert wird:
εges=εmech+εtherm
Die thermische Dehnung
εtherm berechnet sich aus dem Produkt des linearen Ausdehnungskoeffizienten
αT und der Temperaturänderung
ΔT:
εtherm=αTΔT
Da sowohl die Fasern als auch die Matrix demselben
ΔT ausgesetzt sind, aber unterschiedliche thermische Ausdehnungskoeffizienten haben, berechnen wir ihre Dehnungen separat. Die sich einstellende Gesamtdehnung des Verbundmaterials muss jedoch für beide Komponenten identisch sein, da sie fest miteinander verbunden sind und sich gemeinsam verformen. Auf dieser Basis ergeben sich die Spannungen
σ aus dem Hooke'schen Gesetz:
σ=Eε
Wobei
E der Elastizitätsmodul ist.
2. Zahlenwerte einsetzen und Spannungen berechnen
Gegeben sind:
-
ΔT=40K
- Für die Matrix (M):
EM=2000N/mm2,
αTM=7.0⋅10−51/K
- Für die C-Fasern:
EC=400000N/mm2,
αTC=−0.1⋅10−61/K
Berechnung für die Matrix (M) und die C-Fasern (C):
Thermische Dehnungen:
- Für die Matrix:
εthermM=αTMΔT=7.0⋅10−5⋅40=2.8⋅10−3
- Für die C-Fasern:
εthermC=αTCΔT=−0.1⋅10−6⋅40=−4.0⋅10−6
Da jedoch die Gesamtdehnung beider Komponenten durch die Verbundstruktur miteinander verbunden ist und sich damit eine durchschnittliche Dehnung
εges einstellt, die zwischen den rein thermisch induzierten Dehnungen von Matrix und Fasern liegt, müssen wir die mechanischen Gleichgewichtsbedingungen und Verträglichkeitsbedingungen berücksichtigen.
Die Spannung in den Fasern und in der Matrix kann unter der Annahme, dass keine externen Lasten angreifen und die interne Spannung zwischen Faser und Matrix ausgeglichen ist (
NC=−NM), mit der Formel für das Hooke'sche Gesetz und der Bedingung für das mechanische Gleichgewicht aufgestellt werden:
Für die Kraft in den Fasern und in der Matrix gilt:
NC=σCAC=ECεgesAC
NM=σMAM=EMεgesAM
Und unter der Annahme, dass
NC=−NM ist, setzen wir die Zahlen ein, um
εges zu finden. Da die richtige Lösung für die Kräfte angegeben ist, fokussieren wir uns auf die Anwendung dieser Bedingung zur Ermittlung des gesuchten Ergebnisses. Die tatsächliche Berechnung von
εges erfordert eine detaillierte Analyse des Verbundverhaltens, welches hier mit der Gleichsetzung der Kräfte vereinfacht wird. Durch Einsetzen der gegebenen Werte können wir eine Beziehung herstellen, die es erlaubt, die unbekannten Größen herauszufinden.
Es fehlen spezifische Details, um direkt
εges zu berechnen, ohne zusätzliche Annahmen zu machen, wie die Verbundverformung allgemein behandelt wird. Für den spezifischen Wert
NC=38803,295N, basiert die Lösung auf einer spezifischeren Betrachtung des Gleichgewichts und der kompatiblen Deformation von Faser und Matrix, welche in dieser Aufgabenstellung nicht vollständig spezifiziert ist.