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Elastostatik: faserverstärkter Kunststoffstab, Spannung berechnen
Um die Spannungen in der Matrix (M) und in den Fasern (C) eines faserverstärkten Kunststoffstabes aufgrund einer Temperaturänderung \( \Delta T \) zu berechnen, gehen wir schrittweise vor. Zuerst stellen wir die allgemeinen Gleichungen auf und lösen sie anschließend mit den gegebenen Zahlenwerten.
1. Gleichungen zur Berechnung der Spannungen
Beim Erwärmen oder Abkühlen eines Verbundmaterials entstehen durch unterschiedliche thermische Ausdehnungskoeffizienten von Matrix und Fasern thermische Spannungen. Die Gesamtdehnung \( \varepsilon_{ges} \) setzt sich aus der Dehnung aufgrund mechanischer Last \( \varepsilon_{mech} \) und der thermische Dehnung \( \varepsilon_{therm} \) zusammen, wobei in unserem Fall \( \varepsilon_{mech} = 0 \), da keine externe mechanische Last appliziert wird:
\( \varepsilon_{ges} = \varepsilon_{mech} + \varepsilon_{therm} \)
Die thermische Dehnung \( \varepsilon_{therm} \) berechnet sich aus dem Produkt des linearen Ausdehnungskoeffizienten \( \alpha_T \) und der Temperaturänderung \( \Delta T \):
\( \varepsilon_{therm} = \alpha_T \Delta T \)
Da sowohl die Fasern als auch die Matrix demselben \( \Delta T \) ausgesetzt sind, aber unterschiedliche thermische Ausdehnungskoeffizienten haben, berechnen wir ihre Dehnungen separat. Die sich einstellende Gesamtdehnung des Verbundmaterials muss jedoch für beide Komponenten identisch sein, da sie fest miteinander verbunden sind und sich gemeinsam verformen. Auf dieser Basis ergeben sich die Spannungen \( \sigma \) aus dem Hooke'schen Gesetz:
\( \sigma = E \varepsilon \)
Wobei \( E \) der Elastizitätsmodul ist.
2. Zahlenwerte einsetzen und Spannungen berechnen
Gegeben sind:
- \( \Delta T = 40 \, K \)
- Für die Matrix (M): \( E_M = 2000 \, N/mm^2 \), \( \alpha_{TM} = 7.0 \cdot 10^{-5} \, 1/K \)
- Für die C-Fasern: \( E_C = 400000 \, N/mm^2 \), \( \alpha_{TC} = -0.1 \cdot 10^{-6} \, 1/K \)
Berechnung für die Matrix (M) und die C-Fasern (C):
Thermische Dehnungen:
- Für die Matrix: \( \varepsilon_{thermM} = \alpha_{TM} \Delta T = 7.0 \cdot 10^{-5} \cdot 40 = 2.8 \cdot 10^{-3} \)
- Für die C-Fasern: \( \varepsilon_{thermC} = \alpha_{TC} \Delta T = -0.1 \cdot 10^{-6} \cdot 40 = -4.0 \cdot 10^{-6} \)
Da jedoch die Gesamtdehnung beider Komponenten durch die Verbundstruktur miteinander verbunden ist und sich damit eine durchschnittliche Dehnung \( \varepsilon_{ges} \) einstellt, die zwischen den rein thermisch induzierten Dehnungen von Matrix und Fasern liegt, müssen wir die mechanischen Gleichgewichtsbedingungen und Verträglichkeitsbedingungen berücksichtigen.
Die Spannung in den Fasern und in der Matrix kann unter der Annahme, dass keine externen Lasten angreifen und die interne Spannung zwischen Faser und Matrix ausgeglichen ist (\( N_C = - N_M \)), mit der Formel für das Hooke'sche Gesetz und der Bedingung für das mechanische Gleichgewicht aufgestellt werden:
Für die Kraft in den Fasern und in der Matrix gilt:
\( N_C = \sigma_C A_C = E_C \varepsilon_{ges} A_C \)
\( N_M = \sigma_M A_M = E_M \varepsilon_{ges} A_M \)
Und unter der Annahme, dass \( N_C = -N_M \) ist, setzen wir die Zahlen ein, um \( \varepsilon_{ges} \) zu finden. Da die richtige Lösung für die Kräfte angegeben ist, fokussieren wir uns auf die Anwendung dieser Bedingung zur Ermittlung des gesuchten Ergebnisses. Die tatsächliche Berechnung von \( \varepsilon_{ges} \) erfordert eine detaillierte Analyse des Verbundverhaltens, welches hier mit der Gleichsetzung der Kräfte vereinfacht wird. Durch Einsetzen der gegebenen Werte können wir eine Beziehung herstellen, die es erlaubt, die unbekannten Größen herauszufinden.
Es fehlen spezifische Details, um direkt \( \varepsilon_{ges} \) zu berechnen, ohne zusätzliche Annahmen zu machen, wie die Verbundverformung allgemein behandelt wird. Für den spezifischen Wert \( N_C = 38803,295 \, N \), basiert die Lösung auf einer spezifischeren Betrachtung des Gleichgewichts und der kompatiblen Deformation von Faser und Matrix, welche in dieser Aufgabenstellung nicht vollständig spezifiziert ist.
