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Um die Gleichung für \(F_L\) zu finden, betrachten wir die verschiedenen Kräfte, die auf die linke Seite des Zylinders wirken, da dort sowohl Wasser als auch Öl vorhanden sind. \(F_L\) ist die resultierende Kraft, die durch das Wasser und das Öl auf die linke Seite des Zylinders ausgeübt wird. Die Aufgabe ist es, diese Kraft in Abhängigkeit der Dicke der Ölschicht \(h\) zu bestimmen.
Betrachten der Kräfte:
1.
Atmosphärischer Druck: Der atmosphärische Druck \(p_a\) wirkt auf beide Seiten des Zylinders, also auch auf die linke Seite. Die resultierende Kraft aufgrund des atmosphärischen Drucks ist gleich dem Druck multipliziert mit der Fläche, auf die er wirkt. Bei einem Zylinder mit der Länge \(L\) und dem Durchmesser \(D\) ist die Fläche \(L \times D\). Daher ist die Kraft aufgrund des atmosphärischen Drucks \(p_a L D\).
2.
Druck durch die Ölschicht: Die Höhe der Ölschicht \(h\) erzeugt einen Druck, der ebenfalls auf die linke Seite des Zylinders wirkt. Der Druck am Boden der Ölschicht ist \(p = \rho_{\dot{O} l} g h\), wobei \(\rho_{\dot{O} l}\) die Dichte des Öls und \(g\) die Erdbeschleunigung ist. Die resultierende Kraft aufgrund dieses Drucks ist gleich dem Druck multipliziert mit der Fläche, jedoch variiert der Druck mit der Tiefe. Um die resultierende Kraft der Ölschicht zu berechnen, berechnen wir den mittleren Druck, der gleich \(\frac{\rho_{\dot{O} l} g h}{2}\) ist, und multiplizieren ihn mit der Fläche (\(L \times h\) für die Oberfläche zum Zylinder), allerdings ist dies nicht ganz korrekt, da die Kraft über die gesamte Höhe \(D/2\) und nicht nur über \(h\) verteilt ist. Tatsächlich ist diese Beschreibung hier zur Vereinfachung etwas angepasst.
Die genaue Berechnung der Kraft durch die Ölschicht auf einer Fläche von \(L \times D\) beinhaltet, die Höhe \(h\) und das verbleibende Wasser (\(D/2 - h\)), was zu weiteren Termen in der Gleichung führt.
3.
Druck durch das Wasser neben dem Öl: Ähnlich wie bei der Ölschicht erzeugt das Wasser einen Druck auf den Zylinder. Die Höhe der Wassersäule, die auf den Zylinder wirkt, ist \(D/2 - h/2\), wenn \(h\) vollständig bedacht wird. Der Druck am Boden dieser Wasserschicht beträgt \(p = \rho_{W} g (D/2 - h/2)\), wobei \(\rho_{W}\) die Dichte des Wassers ist. Die resultierende Kraft ist der mittlere Druck multipliziert mit der Fläche, auf die er wirkt (\(L \times D\)), jedoch müssen wir hier berechnen, wie sich dieser Druck auf die effektive Höhe (\(D/2 - h/2\)) verteilt.
Zusammenführen der Terme für \(F_L\):
Wenn wir die oben beschriebenen Überlegungen zusammenführen, erhalten wir die Gleichung für \(F_L\), in der jede Komponente die resultierende Kraft aufgrund eines der beschriebenen Effekte darstellt:
- \(p_a L D\) für den atmosphärischen Druck.
- \(\rho_{\dot{O}l} g \frac{h^2}{2} L\) für den Druck durch die Ölschicht selbst, wobei \(\frac{h^2}{2}\) den mittleren Druck durch die Höhe der Ölschicht repräsentiert.
- \(\rho_{\dot{O}l} g h (\frac{D}{2} - \frac{h}{2}) L\) für den Druck durch das Öl auf die unter ihm liegende Wasserschicht und den Zylinder.
- \(\rho_{W} g \frac{(D/2 - h/2)^2}{2} L\) für den Druck durch das Wasser neben dem Öl.
Ergebnis:
Dementsprechend ergibt die Kombination dieser Terme die vollständige Gleichung für \(F_L\):
\(F_L = p_a L D + \rho_{\dot{O}l} g \frac{h^2}{2} L + \rho_{\dot{O}l} g h \left(\frac{D}{2} - \frac{h}{2}\right) L + \rho_{W} g \frac{(D/2 - h/2)^2}{2} L\)
Dies ist die resultierende horizontale Kraft auf die linke Seite des Zylinders aufgrund von atmosphärischem Druck, dem Druck durch die Ölschicht und dem Druck durch das Wasser neben der Ölschicht.
