Welche Funktion hat σ (Sigma) beim gedämpften Federpendel als Konstante?

Question

Aufgabe:

1) Zu zeigen ist: S_0(n+1)/S_0n = σ = e^-kT = konstant.

2) Welchen Wert hat σ und wie groß ist die Amplitude S₀₅? Bitte entnehmen Sie die Amplitude S₀₄ für Ihre Berechnung aus dem Graphen.

Problem/Ansatz:

Was ist Sigma und wie lässt sich der Beweis von Aufgabe 1) zeigen?

Lösungsansatz:

habe zunächst die benötigten Werte aus dem Graphen abgelesen:  T=3s

                                                                                                             Amplitude der Einhüllenden: S_0max=16cm

                                                                                                             S_0n=14cm        bei t₁=0,75s

                                                                                                             S_0(n+1)=8,7cm bei t₂=3,75s

                                                                                                             S_0(n+2)=6,5cm bei t₃=6,75s

                                                                                                             S_0(n+3)=3,7cm bei t₄=9,75s

                                                                                                             S_0(n+4)=S₀₅=2,55cm

mit n=1,2,3,4                                   und Funktionsgleichung der gedämpften Schwingung: s(t)=S₀*e^^-kt*sin(ω*t)

Mein Lösungsversuch:

¹⁾ Amplitudenverhältnis: S_0(n+1)/S_0n=8,7cm/14cm=0,62

²⁾ σ=Dämpfungskonstante(Hier bin ich mir nicht sicher, ob das so stimmt. Bin davon ausgegangen, dass Sigma ein Verhältnis zwischen zwei Größen beschreibt):

                                                                                                                      S(t)=S₀*e^^-σ*t    ⌊ t₂ einsetzen

                                                                                                                       St₂=S₀*e^^-σ*t2

                                                                                                                       St₂/S₀=e^^-σ*t2

                                                                                                                       ln(St₂/S₀)=-σ*t₂

                                                                                                                       ln(St₂/S₀)/t₂=-σ

                                                                                                                       σ=-ln(St₂/S₀)/t₂

                                                                                                                       σ=-ln(8,7cm/16cm)/3,75s=0,16

³⁾ e^^-kT=e^^-0,16*3s=0,62

Damit ist σ die Konstante und die beiden anderen Werte das Amplitudenverhältnis.

Hier denke ich, dass diese Berechnungen wohl nicht korrekt sind und einer Beweisführung nicht genügen.

Aufgabe2)

S₀₅=S₀₄*Amplitudenverhältnis=3,7*0,62=2,3cm      Dieses Ergebnis stimmt zwar ungefähr mit dem nicht genau                                                                                                      ablesbaren Wert überein, aber ich denke nicht, dass diese einfache                                                                                        Berechnung richtig ist.

Ich arbeite nun schon seit einigen Tagen an dieser Aufgabe. Es wäre sehr nett, wenn mir da mal jemand weiterhelfen kann.

Answer 1

Hallo

 du hast doch richtig S(t)=S0*e^-σt*sin(ω*t)

damit ist die Amplitude S0*e^{-σ(T/4+n*T )}*sin(ω*(T/4+n*T)

die Amplitude bei n wird hier offensichtlich mit S0(n) beschrieben- der sin ist 1 bei t=T/4+n*T

deshalb S_n+1/S_n=e--σt

Da du das Verhältnis aus dem Graphen kennst hast du mit ln(S_n+1/S_n)=-σT auch σ

ich hoffe, dass das σ die Dämpfung bei euch meint, meist nennt man das δ?

das σ bzw δ  kommt von der Konstanten in der Dgl der gedämpften Schwingung: s''+d/m*s'+k/m*s=0

 mit w0^2=k/m und 2σ=d/m also ist σ kein Verhältnis, sondern hat die Einheit 1/s.ob du S₅ richtig hast kann ich nicht sagen es ist 0,62*S_{4 ,}

Gruß lul

Comments

Danke erstmal für die schnelle Antwort und Deine hilfreichen Erläuterungen.

Gruß Andy65