Wer hat Angst vor Faddeev-Popov-Geistern?

Question

Zugegeben, um die Geister soll es gar nicht gehen sondern um einen anderen Aspekt bei der Pfadintegralquantisierung von Eichfeldern nach Faddeev-Popov.

Ich fasse kurz zusammen:

Wir integrieren in unserem Pfadintegral

$$ I=\int DA e^{iS[A]}$$

über zu viele Felder, nämlich auch solche Felder A und A^h, die physikalisch äquivalent insofern sind, als sie durch eine Eichtransformation in Verbindung stehen:

$$A_{\mu}^h = hA_{\mu}h^{-1} + \frac i g (\partial_{\mu} h)h^{-1}$$

mit einem h aus der zugrundeliegenden Liegruppe. Der "Trick" besteht darin (unter der Anname, dass DA und S[A] eichinvariant sind), in obiges Pfadintegral ausgehend von einer Eichbedingung

$$ f(A)=0$$die Identität

$$ 1 =\Delta_{FP}(A) \int Dh \delta[f(A^h)]$$

einzugügen (mit einer noch zu bestimmenden Funktion Δ(A)), was nach Vertauschen der Integrationsreihenfolge

$$ \int Dh\int DA e^{iS[A]}\Delta_{FP}(A)\delta[f(A^h)]$$

gibt. Da vorausgesetzt wurde, dass das Maß im zweiten Integral eichinvariant ist, und man sich unschwer überzeugen kann, dass das auch für die Funktion Δ gilt, folgt

$$ I = \int Dh \int DAe^{iS[A]}\Delta_{FP}(A)\delta[f(A)].$$

Tadaaa, das zweite Integral ist nicht mehr von h abhängig und das erste gibt lediglich das Volumen der Eichgruppe und ist als Vorfaktor unwichtig.

Meine Frage:

Nehmen wir an, es geht um Elektromagnetismus, d.h.

$$ A_{\mu}^h = A_{\mu}  - \partial_\mu \alpha.$$

Als Eichbedingung wählt man ja üblicherweise ∂A=0, also f(A) = ∂A, hier nehmen wir

$$ f(A) = \partial A - \sigma $$.

mit irgendeiner Funkion σ(x). So weit so gut.Damit hat man also

$$Z = \int DAe^{iS[A]}\Delta_{FP}(A)\delta[\partial A - \sigma]$$

und jetzt kommts endlich: Das Integral ist unabhängig von der Wahl der Funktion σ und kann deshalb mit
 $$ e^{\frac {i} {2\xi} \int d^4x \sigma(x)^2}$$

integriert werden. Da Vorfaktoren keine Rolle spielen, hat man also nach Ausführung des Integrals

$$ Z = \int DA e^{iS[A]-\frac {i}{2\xi}\int d^4x (\partial A)^2}.$$

So bekommt man den bekannten Photonenpropagator

$$ \frac {-i}{q^2}\left[ \eta_{\mu\nu} - (1-\xi)\frac{q_\mu q_\nu}{q^2}\right],$$

mir ist aber nicht ganz klar, wie man auf die spezielle Wahl der Sigma-Funktion kommt, die man an das Pfadintegral multipliziert. Prinzipiell könnte man doch jede beliebige Funktion wählen und würde entsprechend völlig andere Terme im Exponenten erhalten. Wodurch ist genau diese Wahl gerechtfertigt / motiviert?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung zur Wahl der Sigma-Funktion

Die spezielle Wahl der Funktion \(\sigma(x)\) bei der Pfadintegralquantisierung von Eichfeldern, insbesondere im Kontext der Elektrodynamik, ist tief in der Methode der Faddeev-Popov Quantisierung und der Gauge-Theorie verwurzelt. Die grundlegende Motivation hinter dieser Wahl stammt von dem Bedarf, das Integral über alle Gauge-Äquivalenzklassen in ein wohldefiniertes Integral über physikalisch unabhängige Konfigurationen umzuwandeln, was durch das Einführen einer geeigneten Eichfixierung erreicht wird.

Die Einführung der Delta-Funktion \(\delta[\partial A - \sigma]\) dient dazu, bestimmte Eichbedingungen zu fixieren, wodurch das Integral über alle möglichen Eichfeldkonfigurationen auf solche Konfigurationen eingeschränkt wird, die dieser Bedingung genügen. Das \(\sigma(x)\) in dieser Bedingung ermöglicht eine gewisse Flexibilität in der Wahl der spezifischen Eichbedingung.

Die Funktion \(\sigma(x)\) selbst wird dann so gewählt, dass sie diese Eichbedingung in einer Weise erfüllt, die das Ausführen des Integrals vereinfacht oder die Berechnungen in einem gewünschten Rahmen hält. Im Fall des Elektromagnetismus führt die Wahl zu einer effektiven Quadratisierung des Eichterms im Exponenten des Pfadintegrals.

Die Einführung des Faktors \(e^{\frac{i}{2\xi}\int d^4x \, \sigma(x)^2}\) und seine Integration in das Pfadintegral ist eine technische Maßnahme, um mit der Eichfixierungsbedingung konsistent zu bleiben und gleichzeitig die Rechnungen handhabbar zu machen. Dieser Schritt ist eine Konsequenz aus der Notwendigkeit, die Funktionaldeterminante, die durch das Einführen der Deltafunktion und die Gauge-Fixierung entsteht, zu behandeln (Faddeev-Popov Determinante \(\Delta_{FP}(A)\)). Die spezifische Form des Exponenten \(e^{\frac{i}{2\xi}\int d^4x \, \sigma(x)^2}\) ist darauf abgestimmt, dass dieser Vorfaktor die Rechnungen vereinfacht und zu dem bekannten Ausdruck für den Photonenpropagator führt.

Die Wahl von \(\sigma(x)\) und das resultierende Einführen des entsprechenden Exponenten in das Pfadintegral spiegeln also einen Kompromiss zwischen mathematischer Konsistenz (Einhaltung der Eichfixierungsbedingung) und Berechenbarkeit (Einfachheit des resultierenden Integralausdrucks) wider. Prinzipiell könnten andere Funktionen \(\sigma(x)\) gewählt werden, was jedoch zu anderen Eichfixierungsbedingungen und möglicherweise komplexeren oder weniger handhabbaren Integralen führen würde. Die hier vorgestellte Wahl ist also insofern gerechtfertigt, als dass sie eine effektive Methode bietet, um mit den rechnerischen Herausforderungen der Quantenfeldtheorie umzugehen, indem sie eine klare physikalische Interpretation mit rechentechnischer Praktikabilität verbindet.