Antwort mit KI erzeugt
Schrittweise Zeichnung des Signals x(t) = 4/5 t ( σ(t) - σ(t-5))
Um das gegebene Signal \(x(t) = \frac{4}{5} t (\sigma(t) - \sigma(t-5))\) zu zeichnen, gehen wir schrittweise vor und zerlegen den Prozess in verständliche Teile. Zunächst definieren wir die verwendeten Symbole und Funktionen.
- \(\sigma(t)\) ist die Sprungfunktion. Sie ist gleich 0 für \(t < 0\) und gleich 1 für \(t \geq 0\).
Schritt 1: Verständnis der Sprungfunktionen im Ausdruck
Die Funktion \(x(t)\) enthält zwei Sprungfunktionen:
1. \(\sigma(t)\), die bei \(t = 0\) von 0 auf 1 springt.
2. \(\sigma(t-5)\), die bei \(t = 5\) von 0 auf 1 springt.
Das bedeutet, dass die Funktion \(x(t)\) zwischen den Intervallen \(t < 0\), \(0 \leq t < 5\) und \(t \geq 5\) unterschiedliches Verhalten zeigt.
Schritt 2: Analyse der Funktion in verschiedenen Zeitintervallen
1.
Für \(t < 0\): Beide Sprungfunktionen sind Null (\(\sigma(t) = 0\), \(\sigma(t-5) = 0\)), daher ist \(x(t) = 0\).
2.
Für \(0 \leq t < 5\): \(\sigma(t) = 1\) und \(\sigma(t-5) = 0\), somit wird \(x(t) = \frac{4}{5}t(1 - 0) = \frac{4}{5}t\). In diesem Bereich erhöht sich \(x(t)\) linear ab \(t = 0\) mit einer Steigung von \(\frac{4}{5}\) bis \(t = 5\).
3.
Für \(t \geq 5\): Beide Sprungfunktionen sind Eins (\(\sigma(t) = 1\), \(\sigma(t-5) = 1\)), was \(x(t) = \frac{4}{5} t (1 - 1) = 0\) ergibt. Daraus folgt, dass \(x(t)\) für \(t \geq 5\) wieder Null ist.
Schritt 3: Zeichnen des Graphen
-
Für \(t < 0\): Zeichne eine horizontale Linie entlang der t-Achse bei \(y = 0\).
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Für \(0 \leq t < 5\): Beginne bei \(t = 0, x(0) = 0\) und zeichne eine Linie mit einer Steigung von \(\frac{4}{5}\), die bei \(t = 5\) endet. Für \(t = 5\), erhalten wir \(x(5) = \frac{4}{5} \cdot 5 = 4\), was bedeutet, dass der Punkt \((5,4)\) auf unserem Graphen liegt.
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Für \(t \geq 5\): Zeichne ab \(t = 5\) eine horizontale Linie zurück zur t-Achse, was anzeigt, dass \(x(t) = 0\) ist.
Um die Transformation in gerade und ungerade Signale zu visualisieren, musst du jede Funktion für sich analysieren und zeichnen:
- Für das
gerade Signal \(\mathbf{X_g(t)}\), das symmetrisch zur y-Achse ist, berechnest du \(\frac{1}{2}(x(t) + x(-t))\). Beachte, dass \(x(t)\) für negative \(t\) Null ist und für \(t \geq 5\) ebenfalls Null wird.
- Für das
ungerade Signal \(\mathbf{X_u(t)}\), das Punktsymmetrie zum Ursprung aufweist, verwendest du \(\frac{1}{2}(x(t) - x(-t))\).
In diesem Fall ist \(x(-t)\) für \(t > 0\) immer Null (da \(x(t) = 0\) für \(t < 0\)), was bedeutet, dass das ungerade Signal im Wesentlichen eine gespiegelte und skalierte Version der Originalfunktion in bestimmten Bereichen darstellt. Für die genaue Berechnung müsstest du die Werte von \(x(t)\) und \(x(-t)\) in die Formeln für \(X_g(t)\) und \(X_u(t)\) einsetzen und entsprechend den obigen Schritten analysieren.
