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Vorgehensweise zur Ermittlung einer Orthonormalbasis
Die Signale \(s_1(t), s_2(t), \) und \(s3(t)\) sollen als Grundlage für die Bildung einer Orthonormalbasis für den Vektorraum des Empfängers dienen. Um eine Orthonormalbasis zu erhalten, können wir das Gram-Schmidt-Verfahren anwenden und anschließend die Vektoren normieren. Wir gehen folgendermaßen vor:
1.
Definition der Signale:
- \(s_1(t) = \text{rect}\left(\frac{t}{T} - 0.5\right)\)
- \(s_2(t) = -s_3(t) = \text{rect}\left(\frac{2t}{T} -0.5\right) - \text{rect}\left(\frac{2t}{T} -\frac{3}{2}\right)\)
2.
Orthogonalisierung mit dem Gram-Schmidt-Verfahren:
- Da \(s_2(t)\) und \(s_3(t)\) direkt voneinander abhängen (\(s_2(t) = -s_3(t)\)), ist es klar, dass sie nicht beide gleichzeitig in der Basis enthalten sein können. Wir gehen von \(s_1(t)\) und \(s_2(t)\) aus und führen das Gram-Schmidt-Verfahren durch.
- Schritt 1: Beginne mit \(s_1(t)\) als erstem Basisvektor:
\(u_1(t) = s_1(t)\)
- Schritt 2: Projektion von \(s_2(t)\) auf \(u_1(t)\), um den orthogonalen Teil zu finden:
\(u_2(t) = s_2(t) - \frac{\langle s_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle}u_1(t)\)
- Da das Gram-Schmidt-Verfahren auch die Normierung beinhaltet, erfolgt als Nächstes die Normierung der \(u_i(t)\).
3.
Normierung der Vektoren:
Um die Vektoren zu normieren, teilen wir jeden \(u_i(t)\) durch seine Norm.
- \(e_i(t) = \frac{u_i(t)}{\|u_i(t)\|}\)
Berechnen wir die Norm eines Signals/von \(u_i(t)\) in diesem Kontext:
\(\|u_i(t)\| = \sqrt{\langle u_i, u_i \rangle}\)
4.
Berechnung:
- Für die konkrete Berechnung der Projektion und der Norm benötigen wir die spezifische Form der Signale und die Skalarprodukte der Signale, die in Abhängigkeit von \(T\) und der genauen Definition der rect-Funktion berechnet werden müssen. Da rect-Funktionen typischerweise Indikatorfunktionen für ein bestimmtes Intervall sind, hängen die genauen Werte vom Überlappungsgrad ab, welcher wiederum von \(T\) abhängt.
5.
Anwendung:
- Man berechnet \(\langle s_2, u_1 \rangle\), \(\langle u_1, u_1 \rangle\), und verwendet diese Werte zur Berechnung von \(u_2(t)\) und davon die Norm \(\|u_2(t)\|\). Dies erfordert die explizite Berechnung von Integralen, falls die Signale kontinuierliche Funktionen sind, oder von Summen, falls es sich um diskrete Signale handelt.
Ohne die genauen zeitlichen Intervalle und ohne Wert für \(T\) können wir die Orthonormalbasis nicht explizit berechnen. Jedoch liefert der oben beschriebene Prozess die theoretische Grundlage, um mit gegebenen Funktionen und konkreten Zahlenwerten eine Orthonormalbasis zu konstruieren.
