DGL bei Harmonischen Schwingungen

Question

Aufgabe:

Harmonische Schwingung:

Schwingfähige Systeme spielen in der Physik eine zentrale Rolle. Sie
kommen typischerweise dadurch zustande, dass bei Auslenkung eines Teilchens oder Systems aus
seiner Ruhelage eine Rückstellkraft auf das Teilchen wirkt, die proportional zur Auslenkung x(t)
des Teilchens aus seiner Ruhelage ist. Nach dem 2. Newton'schen Gesetz, lautet die zugehörige DGL
fur die zeitabhängige Funktion x(t)

$$\ddot{x} = -ω^{2}x$$

a) Welche Einheiten hat ω?

b) Zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung durch x(t) = A*sin(ωt)+B*cos(ωt)
gegeben ist.

c) Geben Sie zwei physikalische Beispiele an, die durch diese DGL beschrieben werden und
berechnen Sie dafür jeweils explizit die Konstanten A und B aus den gewählten Anfangsbedingungen
x(t = 0) und x_ (t = 0).

Problem/Ansatz:

a) Konnte ich alleine Lösen  [ω]= 1/s. Durch einsetzen, sieht man dass es stimmt. 

b) Hier weiss ich nicht wi eman überhaupt auf x(t) = A*sin(ωt)+B*cos(ωt). Jeglicher ansatz fehlt. Etwa durch integrieren auf beiden Seiten ?

c) kann ich auch nicht

Answer 1

Hallo

 bei x''(t)=-w^2*x(t) handelt es sich um eine Differentialgleichung, also den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung.

 vielleicht besser verständlich für den Anfang f''(x)=-k*f(x) also suchst du eine Funktion deren zweite Ableitung -bis auf eine Zahl- wieder die negative Funktion ist. Du kramst in dem Vorrat der dir bekannten Funktionen, Polynom kann es nicht sein, normale e- funktion auch nicht weil die 2 te Ableitung wieder positiv ist.  Dann fällt dir ein (sin(x))''=-sin(x), (cos(x))''=-cos(x) und (sin(ax))''=-a^2sin(ax) und due siehst die Lösung. (da du Physikerin bist wusstest du eigentlich schon dass eine periodische Funktion Raukommen musste.)

also probierst du jetzt x(t)=A*sin(wt)+B*cos(wt)  leitest es 2 mal ab und setzest in die Gleichung x''(t)=-w^2*x(t) ein. und siehe die Gleichung stimmt. Im Lauf der Zeit bekommst du es noch mit komplizierteren Differentialgleichungen zu tun, bei denen man die Lösung nicht so leicht sehen kann, Aber wenn dir jemand ne Lösung sagt, kannst du ja durch einsetzen immer überprüfen, ob sie richtig ist

zu c) wenn du weisst wie der Zustand am Anfang ist, kannst du A und B bestimmen. 2 übliche Anfangszustände: x(0)=a x'(0)=0 d.h. bei t=0 ist das Teilchen um a ausgelenkt und in Ruhe, oder x(0)=0 ,x_(0)=v bei t=0 ist das Ding in der Ruhelage und hat die Geschwindigkeit v, einsetzen in x und x' ergibt dann jeweils A und B.

Gruß lul